Релятивистский лагранжиан для массивных частиц

Начнем со свободной частицы. Для свободной частицы естественно предположить, что действие пропорционально ее собственному времени,

$$Ldt=\alpha\left(m,\boldsymbol{x},\dot{\boldsymbol{x}}\right)d\tau$$ где$\alpha$— это некоторая функция, которая должна заботиться о том, как лагранжиан свободной частицы зависит от положения и скорости. Но небольшое размышление показывает вам, что$\alpha$(универсальная функция) не должна зависеть ни от положения (иначе частица не была бы свободной), ни от ее скорости, зависящей от системы отсчета (иначе не выполнялся бы принцип относительности). Итак, вам осталось, $$Ldt=\alpha\left(m\right)d\tau$$ Почему$\tau$, подходящее время? Потому что это, по сути, единственный релятивистский инвариант, пропорциональный координатному времени. Это версия прошедшего времени, с которой согласны все инерциальные наблюдатели. Теперь вы можете выполнить расширение ряда Тейлора по степеням$v/c$, сохраняя$\alpha$там, и убедитесь, что он должен быть$-mc^2$(с включенным знаком), если вы хотите, чтобы действие соответствовало$L=\text{K.E.}$(нерелятивистская кинетическая энергия) для свободной частицы. Вместо этого я просто подставлю это значение: $$L=-mc^{2}\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}$$ $$\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \ll c\Rightarrow-mc^{2}\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}\approx-mc^{2}\left(1-\frac{v^{2}}{2c^{2}}+\cdots\right)=$$ $$=-mc^{2}+\frac{1}{2}mv^{2}+\cdots=$$ Единственная разница с классическим нерелятивистским действием заключается в этом члене массы покоя, но это не влияет на уравнения движения. Другая часть лагранжиана (член взаимодействия) просто предполагается такой, какой она обычно считается, потому что естественная экстраполяция на взаимодействующие частицы такова: $$-m_{1}c^{2}d\tau_{1}-m_{2}c^{2}d\tau_{2}+L_{\textrm{int}}dt$$ Член взаимодействия вы пишете в терминах координатного времени, потому что это единственное, что обе частицы «разделяют». Но это не релятивистский инвариант. Это самый деликатный момент во всей истории. Так что вам придется проверить это$L_{\textrm{int}}dt$вообще инвариант. На этом этапе все обсуждение усложняется, поэтому давайте предположим, что подсистема 2 действует как источник поля для подсистемы 1, так что он не влияет на нее. Тогда вы можете игнорировать движение 2, предположив, что член взаимодействия выглядит так: $$L_{\textrm{int}}=f\left(\boldsymbol{x}_{1}-\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2}\right)$$ И это то, что мы называем (минус) потенциальной энергией. Тот факт, что он должен зависеть только от разностей координат (и их производных, но очень ограниченным образом), связан с тем, что пространство симметрично и должно быть невозможно определить, куда я все это поместил. Я надеюсь, что это было ясно, и вы можете запросить дополнительные разъяснения.

Спрашивать о действии — значит спрашивать о лагранжиане. А спрашивать о лагранжиане, по крайней мере, в физике элементарных частиц, значит обращаться к основным предпосылкам предмета. Чтобы объяснить, почему тот или иной лагранжиан является правильным, некуда идти глубже, кроме обращения к вопросам простоты и симметрии. В данном примере нужен максимально простой лагранжиан, но при этом приводящий к какому-то интересному поведению, а также инвариантный по отношению к смещению в пространстве и времени (если рассматривать изолированную частицу) и, если принимает собственное время в интеграле действия, то нужен скаляр Лоренца. Так считают удивительно простым${\cal L} = m c^2$. Человек обнаруживает, что для получения нужного импульса нужно${\cal L} = -m c^2$. И эй-престо! вот оно: создано только из простоты, симметрии и ковариантности. «Доказательство» его правильности состоит в том, что оно приводит к динамике, согласующейся с экспериментом. Для более полного обсуждения динамики нужны другие члены лагранжиана, такие как члены взаимодействия, но даже с этим простым лагранжианом можно рассматривать сохранение энергии и импульса и, таким образом, получить представление о столкновениях частиц.

Добавлено замечание

После полезного обмена комментариями с my2cts я понял, что вышеизложенное, возможно, слишком кратко, чтобы быть действительно полезным. Более полная формулировка лагранжиана в явно ковариантном подходе такова:

$${\cal L} = - mc(-u^\mu u_\mu)^{1/2}$$ который ранее я сокращал до$-mc^2$потому что это действительно ее значение вдоль мировой линии, по которой фактически следует частица. Однако при использовании этого в методе Эйлера-Лагранжа вам необходимо знать его зависимость от 4-скорости для других путей, и именно поэтому необходима полная формулировка (только что приведенная). Затем действие$S = \int {\cal L} d\tau$и уравнение Эйлера-Лагранжа $$\frac{d}{d\tau} \left( \frac{\partial {\cal L}}{\partial u^a} \right) = \frac{\partial {\cal L}}{\partial x^a},$$ где$u^a = dx^a/d\tau$.

Тем не менее, для любого, кто изучает предмет впервые, я думаю, что есть веские аргументы в пользу того, чтобы в первую очередь ввести рассмотрение в терминах координатного времени. Такое лечение принимает

$$\tilde{\cal L} = - m c^2 / \gamma$$ и$S = \int \tilde{\cal L} dt$, что приводит к уравнению Эйлера-Лагранжа $$\frac{d}{d t} \left( \frac{\partial \tilde{\cal L}}{\partial \dot{x}^a} \right) = \frac{\partial \tilde{\cal L}}{\partial x^a},$$ где$t$- координатное время в некоторой заданной инерциальной системе отсчета, а точка обозначает$d/dt$.