Почему лагранжевы плотности и действия в квантовой теории поля всегда лоренц-инвариантны?

На самом деле лагранжиан для ньютоновской механики является инвариантом Галилея. Хотя он «меняется» при небольшом повышении$x \mapsto x + \epsilon t$, она изменяется полной производной по времени. Когда лагранжиан изменяется на полную производную при преобразовании, мы по-прежнему говорим, что лагранжиан «инвариантен», потому что добавление полной производной к лагранжиану не меняет его динамику.

Точно так же плотность лагранжиана в теории поля также инвариантна относительно преобразования Лоренца, потому что она тоже изменяется на полную производную. (Это обычно не обсуждается во вступительных лекциях, потому что они делают замены координат, которые скрывают этот факт.) Как и в примере с ньютоновской механикой, замена на полную производную не влияет на динамику. Другими словами, если лагранжиан изменяется на полную производную при крошечных преобразованиях Лоренца, то вы знаете, что преобразование Лоренцем решения уравнений движения само по-прежнему будет решением уравнений движения.

Ваша точка зрения, по существу, заключается в том, что, в то время как мы признаем$\tfrac12m\dot{x}^2-V(x)$изменения под$x\mapsto x+vt$, интерес к$\tfrac12\partial^\mu\phi\partial_\mu\phi-V(\phi)$зависит от его инвариантности относительно преобразований Лоренца$x^\mu$. (Пока давайте не будем рассматривать более сложные альтернативы ни для того, ни для другого.) Однако сравнение здесь ошибочно, и проблема не в том, что инвариантность Галилея неточна; мы могли бы заменить первый лагранжиан релятивистской альтернативой, и это не отразило бы то, о чем я собираюсь рассказать.

На самом деле вы столкнулись с разницей между механикой, для которой действие есть временной интеграл лагранжиана, и теорией поля, для которой это кратный интеграл плотности лагранжиана. Квантовый аспект не имеет значения.

Обратите внимание, что$x^\mu$во втором примере фактически аналогично$t$во-первых; движение в другом направлении, эквивалентное$x$является$\phi$. Роль преобразований Лоренца состоит в ковариантном преобразовании$\partial_\mu$, что аналогично$\frac{d}{dt}$, инвариантный относительно преобразований Галилея. Напротив,$\phi$Лагранжиан не инвариантен относительно$\phi\mapsto\phi+v_\mu x^\mu$.

Забавное дополнение, которое вы оцените: вы можете записывать теории, обладающие этой инвариантностью; их решения называются галилеонами. (Я присутствовал на конференции, посвященной им, но это настолько малоизвестный термин, что о нем нет статьи в Википедии, только исследовательские статьи.)