Луч света, путешествующий по планете

Если я правильно понимаю вопрос, вы спрашиваете, на какой высоте свет сможет двигаться по кругу вокруг Земли из-за преломления. Это будет высота, на которой длина оптического пути ($OPL$) этой круговой траектории как функция высоты имеет локальный минимум. Эта длина оптического пути будет определяться следующей формулой:

$$OPL=2\pi r \cdot n=2\pi (R+h)(n_0 - \alpha h)$$

где$R$это радиус Земли. Если мы продифференцируем это по отношению к$h$и установить на$0$, мы получаем:

$$0=\frac{dOPL}{dh}=2\pi(n_0-\alpha(R+2h)) \Rightarrow h=\frac{n_0-\alpha R}{2\alpha}$$

Проблема в том, что у нас нет значения для$\alpha$. Найти его будет сложно, потому что ваша формула для$n$не очень реалистично. Более реалистичная (хотя и очень упрощенная) формула для$n$это:

$$n=1+Ae^{-Bh} \Rightarrow OPL=2\pi (R+h)(1+Ae^{-Bh})$$

что даст:

$$0=\frac{dOPL}{dh}=2\pi(1+(1-B(R+h))Ae^{-Bh})\\ \Rightarrow e^{Bh}=A(B(R+h)-1)$$

Если мы сделаем предположение, что$h\ll R$и используйте значения$A=0.00029$и$B=0.000143$мы получаем:

$$h\approx\frac{\ln{(A(BR-1))}}{B}=\frac{\ln{(0.00029(0.000143\cdot6.371\cdot 10^6-1))}}{0.000143}\approx -9300 \,\mathrm{m}$$

Отрицательное число означает, что это не может произойти на Земле. Нам потребуется значительно более толстая атмосфера или больший радиус планеты.