Вращение сферического зеркала

Если любую жесткую плоскую фигуру повернуть вокруг любой точки плоскости на угол$\theta$, то каждая прямая и касательная поворачиваются на один и тот же угол$\theta$. Угол между каждым краем или касательной и любой фиксированной линией, которая не поворачивается, например, лучом света, изменяется на тот же угол.$\theta$. Если луч попадает на один и тот же прямой край или в одну и ту же точку изогнутого края до и после поворота, то отраженный луч поворачивается на$2\theta$, как для плоского зеркала.

Трудность с криволинейными зеркалами (любой формы, не только сферическими) состоит в том, что после поворота луч может не попасть в одну и ту же точку Q на зеркале. Формула работает для плоского зеркала, потому что, хотя точки падения до и после вращения различны, касательные в этих точках были параллельны (фактически коллинеарны) до вращения и остаются такими после вращения.

Если сферическое зеркало вращается вокруг точки Q, в которой на него падает луч, то после поворота луч все равно будет падать на зеркало в точке Q. См. случай (а) на диаграмме выше. Как вы заметили, локальная поверхность в точке Q плоская и действует как плоское зеркало. Таким образом, поворачивая зеркало на угол$\theta$поворачивает отраженный луч на угол$2\theta$, то же, что и для плоского зеркала.

Однако, если вы повернете сферическое зеркало вокруг какой-либо другой точки, луч может попасть на зеркало в какой-то точке, отличной от точки Q, так что то же соотношение не обязательно останется верным.

Например, если вы повернете зеркало вокруг центра кривизны C, луч, который упал на зеркало в точке Q1, теперь падает на зеркало в другой точке на зеркале Q2. Для этого симметричного случая касательная в точке падения не изменилась, поэтому отраженный луч вообще не вращается. См. случай (б).

Если вы вращаете зеркало вокруг какой-либо другой точки, например полюса P, новая точка падения Q2 не обязательно совпадает с начальной точкой Q1. См. случай (с). Q1 можно повернуть к Q2, но это частный случай — тогда отраженный луч поворачивается на$2\theta$по той же причине, что и в (а). Однако в большинстве случаев Q2 исходит из какой-то другой точки Q3 с касательной, не параллельной касательной в Q1. Таким образом, отраженный луч вообще не будет поворачиваться на$2\theta$.