Математический анализ одного фиксированного шкива

Есть два концептуальных подхода к шкивам. Один из способов — это ваш путь, который состоит в том, чтобы представить себе цилиндрическую ступицу с радиусом$r$что вращается. В этом случае мне нравится думать о цилиндрической ступице как о шестерне с зубьями, которая фиксируется тросом. Если вы сделаете разрез в кабеле и изолируете систему кабель-концентратор, диаграмма свободного тела будет выглядеть так:

Обратите внимание, что на этой схеме часть кабеля все еще находится в контакте с концентратором. R — сила реакции потолка, удерживающая ступицу, а L и E — напряжения внутри троса от нагрузки и усилия соответственно. Одно предположение, которое вы можете сделать, состоит в том, что сама ступица имеет малый радиус и/или практически не имеет массы. В этом случае его момент инерции равен нулю. Если его момент инерции равен нулю, то крутящие моменты, действующие на него относительно точки крепления, должны уравновешиваться, даже если он испытывает угловое ускорение . Тогда ваш анализ совершенно верен, потому что L и E действуют на расстоянии r от точки крепления, и их моменты должны уравновешиваться. Кроме того, ступица не перемещается, поэтому R уравновешивает L+E, даже если ступица массивна.

Другой способ представить шкив как фиксированный барабан, по которому может скользить трос. В этом случае нагрузка будет уравновешивать усилие, если она не будет иметь трения. Предположим, что оно не лишено трения. Затем между кабелем и барабаном возникает сдвиговое натяжение. Если L больше E, то диаграмма свободного тела троса, соприкасающегося с барабаном, в равновесии выглядит следующим образом:

Нормальные силы тяги не вносят вклад в момент относительно O. Но поперечная тяга из-за трения имеет момент по часовой стрелке. E имеет момент по часовой стрелке, который не так велик, как момент против часовой стрелки от L. Все моменты уравновешены. См. уравнение Шапстана.

Почему вы думаете, что существует бесконечная сумма? Если напряжения не равны, общий крутящий момент равен$r(L-E)$. Если шкив имеет инерционный момент$I$у нас есть$I\dot \omega = r(L-E)$, так это только когда$I=0$что напряжение должно быть одинаковым.

Для математической моей формулы для крутящего момента обратите внимание, что

$$\tau = \int_a^b \left(\frac{d T}{ds}\right) r ds = \left[ rT\right]_a^b=r(T(b)-T(a)$$ где$a$и$b$являются первой и последней точками контакта строки. Это верно, потому что (для безмассового жала) третий закон Ньютона говорит нам, что тангенциальная сила, действующая на шкив из-за контакта с бесконечно малым элементом струны длины$dS$разница в натяжении на двух концах элемента.