Почему сила, действующая на шкив, в два раза превышает натяжение каната?

Нормальная сила, направленная внутрь из-за короткой длины каната на шкиве, равна

$${\bf N} = -\hat {\bf r} \frac {T}{R} dl$$ Здесь$T$натяжение (постоянное для гладкого шкива),$\hat {\bf r}$является единицей внешней нормали и$R$это радиус шкива. Вывод этого выражения для этой нормальной силы геометрически такой же, как и вывод$V^2/R$для центростремительного ускорения при круговом движении с постоянной скоростью.

Теперь, измеряя угол$\theta=0$в верхней части шкива составляющая этой силы, направленная вниз, равна$N \cos\theta$. Таким образом, общая направленная вниз сила шкива из-за контакта с канатом равна

$${F}_{\rm down}= \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \frac{T}{R} \cos \theta Rd\theta\\ =2T.$$ Мы использовали$dl=Rd\theta$чтобы преобразовать длину в изменение угла.

Я не собираюсь заниматься твоим спорным делом.

Когда трение присутствует, разница в том, что натяжение на обоих концах веревки больше не должно быть одинаковым. При безмассовом шкиве или контакте без трения, если бы силы на каждом конце были разными, веревка ускорялась бы и двигалась, чтобы уменьшить разницу.

При трении и массе в шкиве сила на одном конце не передается мгновенно. Вместо напряжения будет напряжение (возможно, разное) на обоих концах.

Но в обоих случаях напряжение в каждом сегменте передается на шкив, поэтому сила на шкиве остается равной сумме натяжений.