Напряжение в концептуальной машине Этвудса?

Представьте себе конечный отрезок веревки, скажем, с левой стороны. Предположим, что натяжение в верхней части сегмента равно$T_t$а напряжение в нижней части сегмента равно$T_b$. Тогда на отрезок веревки действует сила$T_t$вверх и$T_b$вниз, или чистая сила$T_t - T_b$вверх. Так как веревка не имеет массы, сила тяжести отсутствует, поэтому$T_t - T_b$это результирующая сила на веревке.

Закон Ньютона гласит, что ускорение веревки равно$\dfrac{T_t - T_b}{m}$вверх, где$m$- масса отрезка каната. Однако, поскольку$m$равно нулю, это ускорение должно быть бесконечным, что является проблемой.

Что на самом деле происходит, так это то, что если бы была чистая сила вверх, сегмент веревки немедленно ускорился бы вверх. Это восходящее движение ослабило бы натяжение в верхней части веревки ($T_t$уменьшается) и увеличить натяжение в нижней части каната ($T_b$увеличивается). Это будет продолжаться до тех пор, пока$T_t$равно$T_b$и нет результирующей силы на отрезке веревки. Это происходит по всей веревке, когда она натягивается. Поскольку веревка не имеет массы, этот процесс происходит очень быстро, поэтому всегда можно предположить, что$T_t$равно$T_b$.

Поскольку отрезок веревки мог быть где угодно, это означает, что любые две точки на веревке должны иметь одинаковое натяжение.

Рассмотрим два случая.

СЛУЧАЙ 1: Без трения

Шкив абсолютно без трения. Рассмотрим сегмент A. Здесь на него действует его вес, восходящая сила натяжения (T2), действующая на отрезок веревки над ним, и направленная вниз сила натяжения (T1), действующая на отрезок под ним. Так как она ускоряется вниз, ma=mg+T1-T2 Теперь, если веревка имеет меньшую массу, mg=0, также требуется бесконечно малая сила для ускорения этого сегмента без массы, таким образом, ma=0 и T1=T2. Следуя тому же аргументу, вы можете определить нисходящее напряжение в сегменте B(T3)=T1=T2. Поскольку трение в шкиве меньше, на сегмент B не действует дополнительная сила трения, а направленная вверх сила натяжения (T4)=T3. Таким образом, вы можете сказать, что натяжение одинаково на всех сегментах веревки.

СЛУЧАЙ 2: С трением

Для отрезка А следует то же рассуждение, что и в предыдущем случае. В конечном итоге вы можете показать силу натяжения вниз в сегменте B(T3)=T2=T1.

Но для направленной вверх силы натяжения она иная в случае сегмента B. Здесь трение действует на сегменте B. ma=тангенциальная составляющая mg+T3-T4-трения Поскольку m=0, T3=T4+трение. Следовательно, T3=/=T4. Итак, во всех сегментах, соприкасающихся со шкивом, натяжения неодинаковы на обоих концах. Но как только сегмент теряет контакт со шкивом, натяжение одинаково на обоих концах.

Предположение, что$T1$и$T2$одинаковы сводится к приближению$m_{rope} = 0$. В конце мы пытаемся осмыслить допущение, которое не так просто физически интерпретировать.

Помимо отличного ответа Брайана, я хотел бы добавить, что предположение$m_{rope} = 0$приводит к балансу сил (FBD) вокруг веревки, что предполагает, что веревка «чувствует» ту же силу на своих концах. Таким образом, в качестве реакции веревка будет натягиваться$T$на каждом объекте. Для получения дополнительной информации см. мой ответ в другом сообщении: https://physics.stackexchange.com/a/387934/46464 .