Это более тщательно аргументированная версия моего предыдущего поста. Многомировая интерпретация побеждает аргумент Судного дня?
Стандартный аргумент Судного дня
Пусть N будет общим числом людей, которые когда-либо будут жить.
Пусть n будет нашим нынешним рангом при рождении в хронологическом списке всех людей, которые когда-либо будут жить.
Согласно теореме Байеса апостериорная вероятность N при данном n, P(N|n), определяется выражением
P(N|n) = P(n|N) P(N) / P(n).
Если мы предполагаем априорное полное игнорирование n и N, то мы должны использовать неправильные априорные распределения вероятностей P(N)=1/N и P(n)=1/n.
Это оставляет нам условную вероятность нашего текущего положения n при некоторой конечной общей численности населения N, P(n|N).
Аргумент Судного дня предполагает, что будет существовать только одно будущее, так что априори мы с равной вероятностью окажемся в любой позиции n от 1 до некоторого конкретного значения N. Поэтому мы предполагаем, что P(n|N) = 1/N.
Тогда теорема Байеса дает
P (N | n) = P (n | N) P (N) / P (n) = (1 / N) * (1 / N) / (1 / n) = n / N ^ 2
которое представляет собой правильно нормализованное распределение вероятностей, которое позволяет нам оценить уникальное значение N с учетом нашего текущего положения n.
Многомировый аргумент Судного дня
Но, как упоминалось выше, равномерное условное распределение вероятностей P(n|N)=1/N неявно предполагает одно будущее с некоторым конкретным конечным общим размером населения N.
Если интерпретация многих миров верна, то наше настоящее положение n согласуется со многими реально существующими вариантами будущего с разными значениями N.
Мы можем выразить теорему Байеса в терминах неисключительных «весов» W, а не исключительных вероятностей P:
W(N|n) = W(n|N) W(N) / P(n).
Мы предполагаем, что в будущем будет существовать несколько значений окончательного размера популяции N, так что у нас есть веса W(N|n), W(n|N) и W(N), тогда как существует только одно значение нашего текущего положения n с априорная вероятность P(n).
Вес нашего текущего положения n с учетом всех будущих значений окончательной общей численности населения N, W(n|N), определяется выражением
W(n|N) = Сумма[N=n до бесконечности] P(n|N) W(N)
где P(n|N)=1/N — стандартная условная вероятность аргумента Судного дня для нашего положения n при заданной общей численности населения N.
Если мы предположим, что начальный априорный вес для N определяется как W(N)=1/N, тогда
W(n|N) = Сумма[N=n до бесконечности] (1/N) * (1/N) = 1/n
где мы приблизили сумму интегралом.
Следовательно, если мы предположим априорную вероятность для n, P(n)=1/n, то теорема Байеса для сценария многих миров будет иметь вид
W(N|n) = W(n|N) W(N) / P(n) = (1/n) W(N) / (1/n) = W(N).
Следовательно, апостериорные веса для конечного общего размера популяции N, W(N|n), учитывая нашу текущую позицию n, точно такие же, как наши априорные веса для N, W(N).
Следовательно, наше состояние знаний о весах N не изменилось после того, как мы узнали о нашем текущем положении n, и, таким образом, аргумент Судного дня не работает в сценарии многих миров.
Имеет ли это смысл?
Ваш подход кажется мне похожим на допущение априорной вероятности над N, которая не должна полагаться на аргумент многих миров, и с таким же успехом может быть обычным байесовским анализом. Я не уверен, что можно получить, используя «веса» для многих миров, а не имея дело непосредственно с вероятностями. В любом случае вам может быть полезно прочитать байесовский анализ аргумента конца света в O'Neill (2014) . «Аргумент судного дня» утверждает «байесовский сдвиг» в убеждениях, основанный на наблюдении за порядком рождения, и в этой статье утверждается, что это неправильное применение теоремы Байеса. Он также возражает против использования неподходящей априорной вероятности и дает математическую форму апостериорной вероятности в случае, когда выполняются некоторые основные условия согласованности.
Квентин Руян
Квентин Руян