Много сомнений в представлении Лоренца

Есть определение, что$\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$представление равно спинорному тензору

$$\psi_{a_{1}...a_{m}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{n}},$$ где $\psi_{\dot{b}}$преобразуется как комплексное сопряжение $\psi_{b}$. Почему мы предполагаем, что $\left( \frac{1}{2}, 0\right)$и $\left( 0, \frac{1}{2}\right)$представляют спиноры? Можно подумать об этом (без большого количества теории групп) следующим образом.

Мы можем ввести, по ближайшей аналогии с комплексными числами (которые могут описывать вращение на плоскости), наборы из 4 гиперкомплексных чисел (кватернионов), из которых мы можем построить 3-повороты и матрицы бустов Лоренца в пространстве некоторых 2-компонентных векторов, которые мы можем назвать спинорами. Из двух спиноров мы можем построить матрицу 2*2, которая ведет себя как 4-вектор при кватернионных преобразованиях.

Это показывает, что наиболее «элементарным» неинвариантным представлением группы Лоренца являются спиноры (по определению они обозначаются как$\left( \frac{1}{2}, 0\right)$и$\left( 0, \frac{1}{2}\right)$, где второй преобразуется как комплексно сопряженный первый). Инвариантное представление — это, конечно, скалярное представление, которое помечается как$\left( 0 , 0\right)$, потому что у него нет спинорных индексов, поэтому он скалярный.

Что касается$\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$, существует связь между 4-тензором и соответствующим спинорным тензором:

$$\psi_{\mu_{1}...\mu_{n}} \to \psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{n}} = \sigma^{\mu_{1}}_{a_{1}\dot {b}_{1}}...\sigma^{\mu_{n}}_{a_{n}\dot {b}_{n}}\psi_{\mu_{1}...\mu_{n}},$$ или $$\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{n}} \to \psi_{\mu_{1}...\mu_{n}} = \frac{1}{2^{n}}Tr\left( \tilde{\sigma}_{\mu_{1}}^{\dot{b}_{1}a_{1}}...\tilde{\sigma}_{\mu_{n}}^{\dot{b}_{n}a_{n}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{n}}\right).$$ Так $\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$представляет собой 4-вектор.

Маленькое дополнение - переписка между $\left(\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right)$ и 4-вектор

Представительство$\left(\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right)$построен как

$$\left( \frac{1}{2} , 0 \right) \otimes \left( 0, \frac{1}{2} \right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) .$$ Поскольку оба $\psi_{a}, \psi_{\dot {b}}$иметь 2 компонента, объект $\psi_{a \dot{b}}$имеет 4 параметра. Его можно назвать эрмитовым $2 \times 2$матрица. Каждый $2 \times 2$эрмитова матрица может быть представлена ​​в виде $$\tag 1 \psi_{a \dot {b}} = \begin{pmatrix} A_{0} + A_{3} & A_{1} - iA_{2} \\ A_{1} + iA_{2} & A_{0} - A_{3} \end{pmatrix} = A^{\mu}\sigma_{\mu}, \quad \sigma_{\mu} = (\hat{E} , \sigma )_{\mu}, \quad det (\psi ) = A_{0}^{2} - \mathbf A^{2}.$$ Объект $(1)$преобразуется при определенных преобразованиях (матрица $\hat{S}$не произвольно) $$\psi {'} = \hat{S} \psi \hat{S}^{\dagger}, \quad det \hat{S} = 1 \Rightarrow det (\psi {'}) = det (\psi ) = inv$$ так же, как 4-вектор.

Так что нетрудно сделать вывод, что$\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$в форме$(1)$гомоморфно обычному 4-векторному представлению$A_{\mu}$.

Нетрудно увидеть этот 4-вектор$A_{\mu}$можно извлечь из$(1)$по соотношению

$$A_{\mu} = \frac{1}{2}Tr(\sigma_{\mu}\psi ).$$

Напомним, что при классификации представлений группы Лоренца мы рассматриваем

$$\begin{equation} \textbf{N}_{\pm} = \frac{\textbf{J} \pm i\textbf{K}}{2}, \tag{1} \end{equation}$$ где $\textbf{J}$- угловой момент (генератор вращения) и $\textbf{K}$является импульсным генератором. Генераторы $\textbf{J}$и $\textbf{K}$удовлетворить $$\begin{equation} [J^{i},J^{j}] = i\varepsilon^{ijk} J^{k}, \tag{2} \end{equation}$$ $$\begin{equation} [J^{i},K^{j}] = i\varepsilon^{ijk} K^{k}, \tag{3} \end{equation}$$ и $$\begin{equation} [K^{i},K^{j}] = -i\varepsilon^{ijk} J^{k}. \tag{4} \end{equation}$$ Из приведенных выше соотношений можно показать, что каждое из $\textbf{N}_{\pm}$удовлетворяет «соотношению коммутации углового момента» и $\textbf{N}_{+}$и $\textbf{N}_{-}$коммутировать, т. $$\begin{equation} [N_{\pm}^{i},N_{\pm}^{j}] = i\varepsilon^{ijk} N_{\pm}^{k} \tag{5} \end{equation}$$ и $$\begin{equation} [N_{\pm}^{i},N_{\mp}^{j}] = 0. \tag{6} \end{equation}$$ Посредством $(A,B)$представлении группы Лоренца, мы имеем в виду, что «квантовые числа углового момента», соответствующие $\textbf{N}_{+}$и $\textbf{N}_{-}$являются $A$и $B$.

Теперь сосредоточим наше внимание на генераторе вращения.$\textbf{J} = \textbf{N}_{+}+\textbf{N}_{-}$. Возможные «квантовые числа углового момента» для$\textbf{J}$задаются обычным правилом сложения углового момента, т. е.

$$\begin{equation} j = |A-B|, \ldots, A+B. \tag{7} \end{equation}$$ Мы видим, что для $(1/2,0)$и $(0,1/2)$представлений, единственно возможное значение $j$является $1/2$, что означает, что они ведут себя как спинор при вращении.

С другой стороны, для$(1/2,1/2)$Представительство, у нас есть$j=0,1$. Именно так будет вести себя вектор Лоренца при вращении: пространственные компоненты (3-вектор) соответствуют$j=1$, а временная составляющая инвариантна относительно вращения, т.е.$j=0$.

Я надеюсь, что выше, я убедил вас, что правдоподобно идентифицировать$(1/2,1/2)$представление с вектором Лоренца. Однако, чтобы сделать аргумент завершенным, позвольте мне добавить еще кое-что.

То, что мы видели до сих пор, не может быть доказательством, потому что существуют другие представления с ровно одним$j=0$и один$j=1$части: приводимые представления$(0,0) \oplus (1,0)$и$(0,0) \oplus (0,1)$. Но при произвольном повышении$j=0$и$j=1$части этих приводимых представлений преобразуются независимо. (На самом деле$j=0$часть, исходящая от$(0,0)$является инвариантным.) Этого не может быть в случае вектора Лоренца, поскольку компоненты пространства и времени должны смешиваться при ускорении. Так что нам остается только$(1/2,1/2)$.

Я не буду утруждать себя явным описанием того, как компоненты$(1/2, 1/2)$связаны с пространственными и временными компонентами вектора Лоренца, как это уже сделано в превосходном ответе Эндрю МакАддамса.