Модель двойного семиона на квадратной решетке

Question

Модель двойного семиона на квадратной решетке

Физика
исследовательский уровень
конденсированное вещество
топологический порядок

№ 9999

Мы рассматриваем модель двойного семиона, предложенную в статье Левина и Вена.

http://arxiv.org/abs/cond-mat/0404617

http://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.71.045110

В их статье модель двойного семиона определяется на сотовой решетке.

Сейчас пытаюсь изучить ту же модель на квадратной решетке.

Вопрос 1. Верен ли следующий гамильтониан?

ЧАС "=" - \sum_{вершина} \prod_{к е вершина} о_{к}^{г} + \sum_{плакетка} [\prod_{Дж е ноги} я^{(1 - о_{Дж}^{г}) / 2}] \prod_{к е плакетка} о_{к}^{Икс} .

$H=-\sum_{\textrm{vertex}} \prod_{k \in \textrm{vertex}}\sigma_{k}^{z} + \sum_{\textrm{plaquette}} \left[ \prod_{j \in \textrm{legs}} i^{(1-\sigma_{j}^{z})/2} \right] \prod_{k \in \textrm{plaquette}} \sigma_{k}^{x}.$ На фигуре вокруг каждой плакетки всего 8 зеленых ножек.

Как показано в статье Левина и Вена, основное состояние модели двойного семиона представляет собой суперпозицию всех замкнутых петель с равным весом, и каждая петля вносит свой вклад со знаком минус. Учитывая конфигурацию петли, компонент волновой функции определяется выражением $(-1)^{\textrm{number of loops}}$ . Если у нас есть четное (нечетное) количество петель, компонент волновой функции этой конфигурации равен $+1$ ( $-1$ ). На сотовой решетке все выглядит нормально. Но меня смущает состояние на квадратной решетке, когда струны пересекаются.

Вопрос 2: Что касается следующих двух конфигураций, следует ли рассматривать их как один цикл или как два цикла? Имеют ли они одинаковую амплитуду в волновой функции основного состояния?

Здесь мы рассматриваем $3 \times 3$ тора, т. е. имеем периодические граничные условия в обоих направлениях. Красная линия обозначает струну, т.е. спин равен $\left| \downarrow \right\rangle$ по каждой красной ссылке.

Это конфигурация И.

Это конфигурация II.

Мэн Ченг

Первое, что нужно проверить, это убедиться, что все члены вашего гамильтониана коммутируют друг с другом. Затем, чтобы проверить, является ли волновая функция основного состояния двойным семионом, давайте рассмотрим один из членов плакетта, действующий на состояние без струн (т.е.

σ_{z} = - 1

$\sigma_z=-1$ повсюду). Член создает замкнутую струну вдоль плакетки, но фазовый множитель

\prod_{j \in legs} i^{(1 - σ_{j}^{z}) / 2} = i^{8} = 1

$\prod_{j\in\text{legs}}i^{(1-\sigma^z_j)/2}=i^8=1$ (в то время как на сотовой решетке

i^{6} = - 1

$i^6=-1$ ). Так что похоже не получается.

№ 9999

@MengCheng Я думаю, что использую другое обозначение. строка означает

σ_{z} = - 1

$\sigma_{z}=-1$ , и отсутствие строки означает

σ_{z} = + 1

$\sigma_{z}=+1$ . Если мы создадим цепочку с одной пластинкой из состояния без цепочек, фазовый фактор будет равен

i^{0} = 1

$i^0=1$ как для квадратных, так и для сотовых решеток. Верен ли в этом случае гамильтониан? Спасибо!

Норберт Шух

@ No.9999 Но если вы создадите один цикл, знак должен измениться ! --- Это также говорит вам, что вы не можете просто изменить свое соглашение для того, что вы называете «строкой» в модели двойного семиона. (Это действительно отличается от Торического кодекса.)

№ 9999

@NorbertSchuch Я думаю, что мы все еще можем использовать это соглашение. Обратите внимание, что я ставлю знак «плюс» перед членами плакетки, в то время как для модели торического кода мы обычно ставим знак «минус» на том же месте. Благодаря вашему ответу ниже я нашел правильный гамильтониан, подсчитав фазовый коэффициент совершенно по-другому (но все еще использую свое старое соглашение).

нервххх

Привет @ No.9999, меня интересует правильная форма гамильтониана двойного семиона на квадратной решетке. Могу я узнать, что это такое? Спасибо.

Ответы (1)

Модель двойного семиона на квадратной решетке

Первое, что нужно проверить, это убедиться, что все члены вашего гамильтониана коммутируют друг с другом. Затем, чтобы проверить, является ли волновая функция основного состояния двойным семионом, давайте рассмотрим один из членов плакетта, действующий на состояние без струн (т.е. $\sigma_z=-1$ повсюду). Член создает замкнутую струну вдоль плакетки, но фазовый множитель $\prod_{j\in\text{legs}}i^{(1-\sigma^z_j)/2}=i^8=1$ (в то время как на сотовой решетке $i^6=-1$ ). Так что похоже не получается.
@MengCheng Я думаю, что использую другое обозначение. строка означает $\sigma_{z}=-1$ , и отсутствие строки означает $\sigma_{z}=+1$ . Если мы создадим цепочку с одной пластинкой из состояния без цепочек, фазовый фактор будет равен $i^0=1$ как для квадратных, так и для сотовых решеток. Верен ли в этом случае гамильтониан? Спасибо!
@ No.9999 Но если вы создадите один цикл, знак должен измениться ! --- Это также говорит вам, что вы не можете просто изменить свое соглашение для того, что вы называете «строкой» в модели двойного семиона. (Это действительно отличается от Торического кодекса.)
@NorbertSchuch Я думаю, что мы все еще можем использовать это соглашение. Обратите внимание, что я ставлю знак «плюс» перед членами плакетки, в то время как для модели торического кода мы обычно ставим знак «минус» на том же месте. Благодаря вашему ответу ниже я нашел правильный гамильтониан, подсчитав фазовый коэффициент совершенно по-другому (но все еще использую свое старое соглашение).
Привет @ No.9999, меня интересует правильная форма гамильтониана двойного семиона на квадратной решетке. Могу я узнать, что это такое? Спасибо.

Норберт Шух · Answer 1

Определяющим свойством модели двойного семиона является природа основного состояния как суперпозиции петель с чередующимися знаками, а не форма его гамильтониана. Как вы заметили, непонятно, как считать петли на квадратной решетке. Насколько я понимаю, это одна из причин, по которой струнно-сетевые модели определяются на сотовых решетках, так как это позволяет однозначно считать петли. (На самом деле подойдет любой трехвалентный граф.)

Если вы хотите определить способ подсчета петель на квадратной решетке, один из способов состоит в том, чтобы «украсить» ее так, чтобы она стала трехвалентной решеткой, то есть вы заменяете каждую четырехвалентную вершину двумя трехвалентными вершинами с ребром. между. Состояние дополнительного ребра однозначно определяется состоянием окружающих ребер, и, таким образом, это дает вам возможность подсчитывать петли на квадратной решетке. Точно так же вы можете преобразовать сотовый гамильтониан в новый гамильтониан на квадратной решетке. Обратите внимание, однако, что это отображение обязательно нарушит некоторую симметрию решетки.

Ваш гамильтониан вращательно инвариантен, поэтому я подозреваю, что это неправильный гамильтониан. Я не анализировал его тщательно, но вы можете попробовать точно диагонализировать его на решетке 4x4 и проверить подпространство земли. Как вариант, можно изучить разные ходы для перехода от одной конфигурации к другой и проверить, все ли они дают одинаковую фазу (подозреваю, что нет, и будут отмены). Для этого, конечно, вам сначала нужно выбрать соглашение о том, как считать петли.

Большое спасибо! Действительно, мы можем получить правильное состояние и правильный гамильтониан, отобразив сотовую решетку в квадратную решетку. Правильный гамильтониан больше не является вращательно-инвариантным. @Норберт Шух

Модель двойного семиона на квадратной решетке

№ 9999

Мэн Ченг

№ 9999

Норберт Шух

№ 9999

нервххх

Ответы (1)

Норберт Шух

№ 9999

Что такое состояние резонирующей валентной связи (RVB)?

Обозначения в Spin Liquid

Являются ли состояния резонирующей валентной связи (RVB) дальнодействующими запутанными?

Какие наблюдаемые указывают на конденсацию куперовских пар БКШ?

Связь между кобордизмом и классификацией категории унитарного слияния фазы TQFT/SPT

Определение короткой запутанности

Экспериментальная подпись топологического сверхпроводника

Простые модели, демонстрирующие топологические фазовые переходы

Реализация топологической квантовой теории поля виттеновского типа в физике конденсированного состояния

Повороты Дена и топологический порядок