Могу ли я заказать по Вейлю следующий гамильтониан?

Question

Могу ли я заказать по Вейлю следующий гамильтониан?

Йоссариан

Я пытаюсь выполнить интеграл по путям, но у меня проблемы с упорядочением Вейля моего гамильтониана.

Лагранжиан рассматриваемой системы равен

л "=" \frac{1}{2} ф (д) {\dot{д}}^{2},

$L~=~\frac{1}{2}f(q)\dot{q}^2,$

где $f(q)$ любая функция координаты $q$ . Из этого лагранжиана я получаю гамильтониан, который

ЧАС "=" \frac{п^{2}}{2 ф (д)},

$H~=~\frac{p^2}{2f(q)},$

где $p=f(q)\dot{q}$ — канонические импульсы.

Теперь я хочу выполнить интеграл по путям с этим гамильтонианом. Вот почему я хочу, чтобы после квантования этот гамильтониан был упорядочен по Вейлю.

Мой вопрос таков: могу ли я упорядочить этот гамильтониан по Вейлю, не зная явной формы $f(q)$ ?

Любопытный Разум

Поскольку у вас нет явного from of

f

$f$ , ваш вопрос, можете ли вы утверждать, что упорядоченный по Вейлю символ

H

$H$ существует без явного выполнения порядка Вейля?

юггиб

Вы должны взглянуть на квантование Вейля с математической точки зрения. Я бы сказал, что если функция

f (q)

$f(q)$ достаточно регулярно, у вас не должно возникнуть проблем.

Йоссариан

@ACuriousMind, я не хочу доказывать, что он существует. Я хочу знать, могу ли я как-то написать это, не зная точной формы

f (q)

$f(q)$

Любопытный Разум

...Я не понимаю, что вы имеете в виду под "написать это", если вы не знаете

f

$f$ .

Йоссариан

@ACuriousMind Я просто надеялся, что может быть способ, даже не зная явной формы

f (q)

$f(q)$ , хотя я думаю, что это невозможно.

юггиб

Учитывая символ

a (x, ξ)

$a(x,\xi)$ , квантование Вейля — это оператор, который действует как

a^{W} (x, D_{x}) ψ (x) = \int \int e^{2 i π (x - y) \cdot ξ} a (\frac{x + y}{2}, ξ) ψ (y) d y d ξ

$a^W(x,D_x)\psi(x)=\int\int e^{2i\pi(x-y)\cdot\xi}a(\tfrac{x+y}{2},\xi)\psi(y)dyd\xi$ . Брать

a (x, ξ) = \frac{ξ^{2}}{2 f (q)}

$a(x,\xi)=\tfrac{\xi^2}{2f(q)}$ и вычислить интеграл. Если это имеет смысл как объект

L^{2}

$L^2$ для

ψ

$\psi$ в плотном подпространстве (например, быстрого убывания, гладкого с компактной поддержкой...) вы получаете квантование Вейля.

Ответы (1)

Могу ли я заказать по Вейлю следующий гамильтониан?

Поскольку у вас нет явного from of $f$ , ваш вопрос, можете ли вы утверждать, что упорядоченный по Вейлю символ $H$ существует без явного выполнения порядка Вейля?
Вы должны взглянуть на квантование Вейля с математической точки зрения. Я бы сказал, что если функция $f(q)$ достаточно регулярно, у вас не должно возникнуть проблем.
@ACuriousMind, я не хочу доказывать, что он существует. Я хочу знать, могу ли я как-то написать это, не зная точной формы $f(q)$
...Я не понимаю, что вы имеете в виду под "написать это", если вы не знаете $f$ .
@ACuriousMind Я просто надеялся, что может быть способ, даже не зная явной формы $f(q)$ , хотя я думаю, что это невозможно.
Учитывая символ $a(x,\xi)$ , квантование Вейля — это оператор, который действует как $a^W(x,D_x)\psi(x)=\int\int e^{2i\pi(x-y)\cdot\xi}a(\tfrac{x+y}{2},\xi)\psi(y)dyd\xi$ . Брать $a(x,\xi)=\tfrac{\xi^2}{2f(q)}$ и вычислить интеграл. Если это имеет смысл как объект $L^2$ для $\psi$ в плотном подпространстве (например, быстрого убывания, гладкого с компактной поддержкой...) вы получаете квантование Вейля.

Qмеханик · Answer 1

Ответ: Да. Определить функцию $g(q):= \frac{1}{f(q)}$ для последующего удобства. Тогда классический гамильтониан имеет вид
$2 час "=" г (д) п^{2} .$ $2h~=~g(q)p^2.$ Можно показать, что упорядоченный по Вейлю гамильтониан имеет вид $2 {ЧАС}_{Вт} "=" (г (д) п^{2})_{Вт} "=" \frac{1}{4} п^{2} г (Вопрос) + \frac{1}{2} п г (Вопрос) п + \frac{1}{4} г (Вопрос) п^{2}$ $2H_W~=~ (g(q)p^2)_W ~=~ \frac{1}{4}P^2 g(Q)+\frac{1}{2} Pg(Q)P+\frac{1}{4} g(Q)P^2$ $"=" п г (Вопрос) п - \frac{1}{4} ℏ^{2} г^{''} (Вопрос),$ $~=~ Pg(Q)P - \frac{1}{4}\hbar^2g^{\prime\prime}(Q),$ см., например, ссылку 1 и этот пост Phys.SE. Здесь $Q$ и $P$ обозначают соответствующие операторы для классических переменных $q$ и $p$ , соответственно. $[Вопрос, п] "=" я ℏ 1, {д, п}_{п Б} "=" 1.$ $[Q,P]~=~i\hbar{\bf 1}, \qquad \{q,p\}_{PB}~=~1.$
Существует еще один метод квантования. Если выбрать представление Шрёдингера для оператора импульса как
$Вопрос "=" д, п "=" \frac{ℏ}{я \sqrt[4]{ф (д)}} \frac{\partial}{\partial д} \sqrt[4]{ф (д)},$ $Q~=~q, \qquad P~=~ \frac{\hbar}{i\sqrt[4]{f(q)}} \frac{\partial}{\partial q} \sqrt[4]{f(q)},$ он станет самосопряженным относительно. мера $мю "=" \sqrt{ф (д)} д д .$ $\mu~=~\sqrt{f(q)}\mathrm{d}q.$ Гамильтониан в представлении Шрёдингера есть (с точностью до мультипликативной константы) оператор Лапласа-Бельтрами $2 ЧАС "=" - \frac{ℏ^{2}}{2} Δ "=" - \frac{ℏ^{2}}{\sqrt{ф (д)}} \frac{\partial}{\partial д} \frac{1}{\sqrt{ф (д)}} \frac{\partial}{\partial д},$ $2H~=~-\frac{\hbar^2}{2}\Delta~=~ -\frac{\hbar^2}{\sqrt{f(q)}}\frac{\partial}{\partial q}\frac{1}{\sqrt{f(q)}} \frac{\partial}{\partial q},$ который является самосопряженным. Поэтому квантовый гамильтониан становится $2 ЧАС "=" \frac{1}{\sqrt[4]{ф (Вопрос)}} п \frac{1}{\sqrt{ф (Вопрос)}} п \frac{1}{\sqrt[4]{ф (Вопрос)}},$ $2H~=~ \frac{1}{\sqrt[4]{f(Q)}} P\frac{1}{\sqrt{f(Q)}}~P\frac{1}{\sqrt[4]{f(Q)}},$ см., например, ссылку 1 и мой ответ Phys.SE здесь .

Использованная литература:

J. de Boer, B. Peeters, K. Skenderis и P. van Nieuwenhuizen, arXiv:hep-th/9511141 ; Раздел 2.

Два квантовых гамильтониана согласуются до первого порядка петель в $\hbar$ , но отличаются во втором порядке цикла.
Формула упорядочения Вейля для произвольных степеней p и q и, следовательно, произвольной функции g(q) была дана за 63 года до ссылки де Бура и др. в McCoy, Neal H. «О функции в квантовой механике, которая соответствует заданная функция в классической механике». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки (1932 г.), 674–676.

Могу ли я заказать по Вейлю следующий гамильтониан?

Йоссариан

Любопытный Разум

юггиб

Йоссариан

Любопытный Разум

Йоссариан

юггиб

Ответы (1)

Qмеханик

Qмеханик

Космас Захос

Qмеханик

Правило порядка Вейля

Связь точки оценки в интеграле по путям с порядковыми неоднозначностями. Пример с частицей в калибровочном поле

Каноническое квантование зависящих от времени лагранжианов

Гамильтониан в путевом интеграле КМ/КТП является преобразованием Вигнера (символом Вейля)? оператора Гамильтона?

Как продвигать алгебраические выражения к операторам в квантовой механике?

Неоднозначность заказа оператора

Каковы минимальные постулаты для выполнения квантовой механики в формулировке интеграла по путям, не зная операторной формулировки?

Вывод лагранжевой формы интеграла Фейнмана по траекториям посредством интегрирования по Гауссу

Канонические коммутационные отношения в произвольных канонических координатах

В чем смысл коммутирующих гамильтонианов?