Неоднозначность заказа оператора

Неоднозначность порядка - это утверждение - или «проблема» - что для классической функции$f(x,p)$, или функция аналогичных переменных фазового пространства, может существовать несколько операторов$\hat f(\hat x,\hat p)$которые представляют его. В частности, квантовый гамильтониан не определяется однозначно классическим пределом.

Эта неоднозначность возникает, даже если мы требуем, чтобы квантовый оператор, соответствующий реальной функции, был эрмитовым и$x^2 p^2$является простейшей демонстрацией этой «более серьезной» проблемы. С одной стороны, эрмитова часть$\hat x^2 \hat p^2$является

$$\hat x^2 \hat p^2 - [\hat x^2,\hat p^2]/2 = \hat x^2\hat p^2 -i\hbar (\hat x\hat p+\hat p\hat x)$$ где я использовал ваш коммутатор.

С другой стороны, мы также можем классически написать произведение и добавить шляпы как$\hat x \hat p^2\hat x$который уже является эрмитовым. Но

$$\hat x \hat p^2\hat x = \hat x^2 \hat p^2+\hat x[\hat p^2,\hat x] = \hat x^2\hat p^2-2i\hbar\hat x\hat p$$ где вы видите, что коррекция отличается, потому что $\hat x\hat p+\hat p\hat x$не совсем равно $2\hat x\hat p$(есть еще один, $c$-значный коммутатор, которым они отличаются). Таким образом, даже если вы рассматриваете эрмитовы части операторов, «соответствующие» классическим функциям, будет несколько возможных операторов, которые могут быть ответом. $x^2p^2$это самый простой пример, и два ответа, которые мы получили, отличались на $c$-количество. Для более высоких степеней или более общих функций возможные квантовые операторы могут отличаться на $q$-числа, нетривиальные операторы тоже.

Физики, которые изучают различные эффективные квантово-механические модели, такие как модели с массой, зависящей от положения, считают это серьезной проблемой (возможно, слишком чрезмерным описанием).$p^2/2m(x)$в кинетической энергии и расширением$m(x)$вокруг минимума или максимума мы можем получить$x^2p^2$предложенная выше проблема.

Но двусмысленность на самом деле не должна удивлять, потому что квантовая механика, а не классическая физика, является фундаментальной. Квантовый гамильтониан содержит всю информацию, включая все поведение в классическом пределе. С другой стороны, нельзя «реконструировать» полный квантовый ответ вне его классического предела. Если вы знаете предел$\lim_{\hbar\to 0} g(\hbar)$одной переменной$g(\hbar)$, это явно не означает, что вы знаете всю функцию$g(\hbar)$для любого$\hbar$.

Многие люди не понимают этого фундаментального положения, потому что считают классическую физику фундаментальной теорией, а квантовую механику считают лишь запутанной вишенкой на пироге, которую, тем не менее, можно получить с помощью квантования, процедуры, которую они считают канонической и уникальной (просто добавление шляпы). . Наоборот, квантовая механика фундаментальна, классическая физика — это всего лишь выводное приближение, справедливое в пределе, и процесс квантования не дает уникальных результатов для достаточно общего классического предела.

Неоднозначность порядка также возникает в теории поля. В этом случае все неоднозначные поправки на самом деле расходятся из-за сингулярностей на коротких расстояниях, и правильное определение квантовой теории требует понимания перенормировки. В конце концов, что нас действительно должно интересовать, так это пространство релевантных/непротиворечивых квантовых теорий, а не «правильный квантовый аналог» классической теории (последняя не является фундаментальной, поэтому она не должна стоять в начале или в основе). наших выводов).

В подходе с интегралом по путям эффективно работают с классическими полями и их классическими функциями, поэтому неоднозначности порядка кажутся отсутствующими; в действительности все последствия этих неоднозначностей все равно проявляются снова из-за УФ-расходимостей, которые необходимо регуляризовать и перенормировать. Процесс регуляризации и перенормировки зависит от вычитания различных расходящихся контрчленов, чтобы получить конечный ответ, который также не совсем уникален (конечная остаточная связь может быть любой).

Вот почему неоднозначности перенормировки — это просто неоднозначности порядка в другом языке. Независимо от того, изучаем ли мы эти вещи как двусмысленности упорядочивания или неоднозначности перенормировки, урок ясен: пространство возможных классических теорий — это не то же самое, что пространство возможных квантовых теорий, и нам не следует думать о классических ответах, когда мы действительно хотим этого. заняться чем-то другим – решить задачи квантовой механики.