Как продвигать алгебраические выражения к операторам в квантовой механике?

Хорошо, я знаю, что в квантовой механике квантовая наблюдаемая получается из классической наблюдаемой по рецепту

Икс → Икс , п → − я ℏ ∂ ∂ Икс

в основе положения. Теперь мои вопросы:

  • Что, если Икс или п стоит в знаменателе классического выражения?

  • Как повысить это до квантового выражения? В чем смысл деления оператором?

Мое выражение, вероятно, содержит смесь Икс и п . Например, он может содержать такие термины, как

п Икс 2
или
Икс п ( Икс 2 + а 2 ) 3 / 2 .

  • Как разрешать продукты некоммутирующих операторов, таких как Икс , п удовлетворительным образом?
Например, квантование Вейля обсуждается в этом посте Phys.SE.

Ответы (2)

Общая проблема преобразования классических выражений в квантово-операторные в общем случае неразрешима, поскольку классическая механика является приближением к квантовой механике, а не наоборот. Всегда существует неоднозначность в том, как упорядочивать некоммутирующие операторы. Вы должны справляться с этим в каждом конкретном случае, и существует ряд схем «квантования». В общем случае они могут привести к различным квантовым теориям, которые необходимо различать экспериментально.

Во всяком случае, в вашем случае, вероятно, можно просто использовать разложение по собственным значениям:

1 Икс → 1 Икс ^ ≡ ∫ г Икс   | Икс ⟩ 1 Икс ⟨ Икс | ,

1 п → 1 п ^ ≡ ∫ г п   | п ⟩ 1 п ⟨ п | ,

и т. д., где | Икс ⟩ , | п ⟩ являются ортонормированными собственными векторами положения и импульса соответственно. Вы можете использовать ⟨ Икс | Икс ′ ⟩ "=" дельта ( Икс − Икс ′ ) показать, что 1 Икс ^ имеет желаемое действие на собственные состояния положения. Вы также можете четко обобщить такого рода вещи, например п → п ^ ≡ ∫ г п   | п ⟩ п ⟨ п | . Чтобы привести реальный пример, следующий оператор, называемый резольвентой , очень важен в квантовой теории рассеяния:

р ^ ( г ) "=" 1 ЧАС ^ − г "=" ∑ н | н ⟩ ⟨ н | Е н − г ,

куда г является комплексным числом.

У вас будут двусмысленности, если классическое выражение будет чем-то вроде п / Икс или п Икс или что-то еще, так как п ^ и Икс ^ не ездить на работу.

@guru: логику ответа Майкла Брауна можно распространить на любую функцию. ф ( Икс ) или г ( п ) , что связано с операторами ф ( Икс ^ ) и г ( п ^ ) . Для смешанных (x,p) величин наиболее популярной процедурой квантования является квантование по Вейлю.
Одна вещь, которую нужно учитывать, это то, что, например, Икс и п не имеют общей базы (что дает принцип неопределенности), поэтому, если у вас есть выражение, зависящее от них обоих, вам, возможно, придется сначала найти другую собственную базу

Подход, отличный от того, что написал Майкл Браун, заключается в использовании расширения Тейлора, чтобы превратить вашу функцию оператора в полином. Затем вы можете - в принципе - оценить действие каждого члена на ваши состояния, а затем снова сократить выражение. Это эффективно приводит к тем же выражениям, что и подход Майкла Боруна, но вам может быть удобнее.

... только то, что в этом случае беспокойство о сходимости расширения, как для значений, так и для вставленных операторов, может вернуть вам головную боль...
Истинный. Это все же ближе к интуиции физика имхо
Согласованный. Кроме того, таким образом можно заметить проблемы с некоммутирующими операторами.
Как продвигать алгебраические выражения к операторам в квантовой механике?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v