Мотивация для спиноров

Как я уже писал здесь , группу Лоренца можно представить как прямое произведение двух$SU(2)$или$SO(3)$группы. $SU(2)$-реализация иррепа,$\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$, относится к спинорному тензору$\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{m}}$, где сумма$n + m$представляет спиновое значение представления:$\frac{n + m}{2} = s$. Если$s$является полуцелым, мы должны работать со спинорными индексами. Если$s$является целым числом, мы можем преобразовать все спинорные индексы в векторные и забыть о спинорах.

Одночастичные представления группы Пуанкаре (описывающие частицы с определенной массой и спином/спиральностью) также характеризуются спинорными тензорами$\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{m}}$, которые являются иррепами группы Лоренца. Итак, мы предполагаем, что, по крайней мере, для описания каждой свободной частицы с половинным спином мы должны работать со спинорными индексами.

Эксперимент Штерна-Герлаха показал, что электрон имеет половинный спин. Итак, как ирреп Пуанкаре со вращением$\frac{1}{2}$и масса$m$он должен описываться 2-спинором$\psi_{a}$(или по иррепу$\left(\frac{1}{2}, 0\right)$) по 2-спинору$\psi_{\dot {a}}$(или по иррепу$\left(0, \frac{1}{2}\right)$). Но нетрудно показать, что это представление не инвариантно относительно$C, P, T$-преобразования (в то время как реальная теория инвариантна), поэтому мы должны взять прямую сумму$\left(\frac{1}{2}, 0\right)$и$\left(0, \frac{1}{2}\right)$. Соответствующий объект называется спинором Дирака.

Более того, все полуспиновые свободные частицы в$C, P, T$-инвариантные теории описываются как объект типа спинора Дирака, который удовлетворяет уравнению Дирака (см. здесь ).