Локальные преобразования Лоренца

Question

Локальные преобразования Лоренца

наименьшее действие

Если $\gamma^m$ обозначает гамма-матрицу касательного пространства, а $\gamma^\mu$ обозначает искривленную пространственную гамма-матрицу, то они связаны соотношением

γ^{мю} (Икс) "=" γ^{м} е_{м}^{мю} (Икс)

$\gamma^\mu(x) = \gamma^m e_{m}^{\mu}(x)$

где $e_{m}^{\mu}(x)$ является вильбейн. При локальном преобразовании Лоренца

{дельта}_{л л} е_{м}^{мю} (Икс) "=" {λ_{м}}^{н} (Икс) е_{н}^{мю} (Икс)

$\delta_{lL}e_m^\mu(x) = {\lambda_m}^n(x) e_n^\mu(x)$

Кроме того, гамма-матрицы с индексами плоского пространства удовлетворяют $\{\gamma^m, \gamma^n\} = 2\eta^{\mu\nu}$ тогда как гамма-матрицы с индексами искривленного пространства удовлетворяют $\{\gamma^\mu(x), \gamma^\nu(x)\} = 2g^{\mu\nu}(x)$ .

На мой взгляд, $\gamma^m$ и $e_{m}^{\mu}(x)$ должны преобразовываться противоположно при локальных преобразованиях Лоренца, и, следовательно, $\gamma^\mu(x)$ должен оставаться инертным.

Но тогда и произвольные произведения гамма-матриц искривленного пространства, в частности что-то вроде $\gamma^{\mu\nu\rho}$ . Однако при доказательстве того, что плотность лагранжиана Рарита-Швингера со спином 3/2 инвариантна относительно локальных преобразований Лоренца, действительно встречается член $\bar{\psi}_\mu \gamma^{\mu\nu\rho}D_{\nu}\psi_\rho$ , который будет включать $\delta_{lL}(\gamma^{\mu\nu\rho})$ (между прочим). Является ли такой член нулевым?

В чем недостаток этой гипотезы, если он есть?

РЕДАКТИРОВАТЬ : это неправда , что $\gamma^m$ и $e_{m}^{\mu}$ преобразуются противоположно при локальных преобразованиях Лоренца. На самом деле, как показывают ответы ниже, $\gamma^m$ вообще не трансформируется.

Ответы (2)

Локальные преобразования Лоренца

Qмеханик · Answer 1

Комментарии к вопросу (v1):

В игре есть три типа индексов: (i) спинорные индексы, (ii) плоские (векторные) индексы и (iii) изогнутые (векторные) индексы.
Гамма-матрицы с плоскими индексами являются константами. Они не трансформируются при локальных преобразованиях Лоренца (LLT). Их можно рассматривать как переплетения между спинорными индексами и плоскими индексами. (LLT также обсуждаются, например, в этом посте Phys.SE.)
Спинорные индексы и плоские индексы (1) вильбейнов и (2) спинорных/векторных/тензорных полей (таких как, например, поле Рариты-Швингера ) преобразуются при LLT, но не кривые индексы.
Можно показать, что плотность лагранжиана Рариты-Швингера
$\begin{matrix} (А) & л_{р С} (е, ψ) "=" {\bar{ψ}}_{мю} γ^{мю ν р} Д_{ν} ψ_{р} \end{matrix}$ $\tag{A} {\cal L}_{RS}(e,\psi)~=~\bar{\psi}_\mu \gamma^{\mu\nu\rho}D_{\nu}\psi_\rho$ инвариантен относительно LLT. Имейте в виду, что спинорные индексы неявно понимаются в уравнении. (А).

наименьшее действие · Answer 2

Я разместил вопрос несколько часов назад и понял, что ответ заключается в том, что ${(\gamma^m)^{\alpha}}_{\beta}$ имеет два вида индексов. Это правда, что так и есть ${(\gamma^\mu)^\alpha}_{\beta}$ . Но дело в том, что гамма-матрицы плоского пространства являются инвариантными тензорами группы Лоренца $SO(d-1,1)$ .

Дело в том, что $\delta_{lL}{(\gamma^m)^{\alpha}}_{\beta} = 0$ может быть связано с тем, что в законе преобразования три члена: один орбитальный член (для плоского индекса $m$ ) и два спиновых члена (для спинорных индексов $\alpha$ и $\beta$ ). Сумма этих трех слагаемых равна нулю .

Для выполнения подобных манипуляций на $\delta_{lL}\gamma^{\mu\nu\rho}$ , необходимо записать гамма-матрицу искривленного пространства в терминах вильбейнов (которые преобразуют) и гамма-матриц плоского пространства (которые не преобразуются).

Цель написания этого ответа - подчеркнуть, что именно гамма-матрицы плоского пространства являются инвариантными тензорами группы Лоренца, а не матрицы с индексами искривленного пространства. Я не нашел это четко изложенным в книге, поэтому я подумал, что это может быть полезно для тех, кто плохо знаком с супергравитацией и подобными манипуляциями.

Примечание. Я только что видел ответ QMechanic, который подтверждает это.

Локальные преобразования Лоренца

наименьшее действие

Ответы (2)

Qмеханик

наименьшее действие

Зачем нужны тетрады/виербейны/фрейм-поля для описания фермионов в искривленном пространстве?

Физическая интуиция спинорной связи и спинорных пучков?

Перестановочные ковариантные производные спиноров

Связь между спином и спинорной кривизной

Нужны ли нам действительно нужны тетрады? ИЛИ: Применяется ли теорема No-Go для спиноров в искривленном пространстве только к линейной связи?

Связь спинорного поля с ранее существовавшим скалярным полем?

Спиноры и тензоры: какова форма матрицы преобразования спина?

Спинорные обозначения в общей теории относительности

Зачем для введения спинорных полей нужна эта карта в определении спинорной структуры?

Эрмитовость оператора Дирака в искривленном пространстве-времени