Я новичок в логике, но я считаю, что это не сложная проблема, но я все еще слишком запутался, и причина этого в том, что в моих знаниях так много пробелов или, может быть, я упустил из виду так много «очевидных» аргументов. Я действительно ценю любые объяснения.
Я думаю о проблеме, можем ли мы добавить к арифметике Пеано новый предикат T, чтобы для каждого предложения A старого словаря новая теория PAT доказывала T (гёделевское числовое число A) тогда и только тогда, когда A. Другими словами, можем ли мы последовательно расширять арифметику Пеано предикатом истинности для предложений в старом словаре? Я пытаюсь найти любые способы показать, что мы можем, или показать, почему это невозможно.
Обозначение: я имею в виду T (числовое число Гёделя для A) как T (), где вещь внутри скобки - это обычный верхний левый и верхний правый квадратный угол A, надеюсь, это ясно.
Мои рассуждения могут быть слишком короткими или, может быть, даже неверными, но я постараюсь:
Мы не можем последовательно расширить арифметику Пеано с помощью предиката истинности, поскольку непротиворечивые дедуктивно определенные расширения арифметики Пеано неполны, поэтому предикат может быть ни истинным, ни ложным.
Я действительно сомневаюсь в своем подходе, я буду очень признателен за любую помощь! Спасибо!
Да, ты можешь это сделать! Случай, о котором вы думаете, очень похож на первоначальную идею Тарского об определении предиката Истины, который был бы Материально Адекватным, а статья Хенрика Котлярского, Станислава Краевского и Алистера Лахлана в 1981 году показала, что мы можем консервативно определить предикат Истинности над предложениями. арифметики Пеано. Их трюк состоит в том, чтобы явно включить в качестве условия каждой из аксиом Истины, которые они определяют, что интересующие нас объекты теории относительно Истины являются кодами предложений PA, исключая, таким образом, любые надлежащие предложения PAT. (Вы можете увидеть основы этого в статье SEP для аксиоматических теорий истины )
Поскольку предикат охватывает только предложения PA, он не включает экземпляры схемы индукции, которые сами содержат предикат Истина. Если бы мы попытались добавить их к теории, мы потеряли бы результат определимости по 2-м гёделевским причинам; вероятно, поэтому вы думали, что невозможно определить предикат, удовлетворяющий Т-схеме.
Однако вы правы, считая предикат неполным, потому что, когда вы показываете, что можете определить Истину как предикат, вы также делаете так, чтобы этот предикат можно было использовать в индукции PA! Таким образом, кажется, что язык в целом говорит истинные арифметические вещи, которые находятся за пределами его описания того, что он считает арифметически Истинным. Но я думаю, что это нормально, поскольку есть смысл, в котором он не упускает ничего из того, что не привнес в язык, добавляя предикат истины.
Ваш вопрос немного сбивает с толку, но я попробую.
Я думаю, что основная часть того, о чем вы спрашиваете, заключается в следующем:
Мы не можем последовательно расширить арифметику Пеано с помощью предиката истинности, поскольку непротиворечивые дедуктивно определенные расширения арифметики Пеано неполны, поэтому предикат может быть ни истинным, ни ложным.
Короткий ответ заключается в том, что предикат, который вы используете для расширения PA, на самом деле является новой аксиомой, добавленной к PA. Так что это автоматически верно по определению.
Однако перед добавлением этого предиката следует проверить его истинностное значение в PA. Если это правда, нет смысла добавлять это. Если оно ложно, то, добавляя его, вы делаете новую систему несовместимой. Следовательно, вы должны выбрать предикат, истинность или ложность которого нельзя доказать, то есть он не зависит от аксиом PA. Теперь, когда вы добавляете этот предикат, он становится истинным в силу того, что он является аксиомой.
Теперь, когда ваша новая аксиома добавлена, язык PA становится больше (есть больше предложений), и неполнота Гёделя по-прежнему применима к этой системе (поскольку она, очевидно, содержит PA), поэтому в языке PA есть новое предложение, которое истинно (что верно в каждой модели ПА), но которую система вывода, приложенная к теории ПА, не докажет (здесь доказательство чисто формальное — нет необходимой связи с истиной, истина устанавливается в модели).
Таким образом, он все еще неполный .
Оно по-прежнему останется верным : это предложение, которое можно доказать, действительно верно (это верно для каждой модели).
В логике первого порядка вы не можете количественно оценить формулы. Тем не менее, вы можете количественно оценить числа Гёделя для формул.
Чтобы сказать осмысленные вещи о числах Гёделя для формул, вам нужно использовать предикат доказательства. Предположим, что вы можете определить такой предикат для любой кодировки набора аксиом.
Самое близкое, что я могу получить к тому, что вы хотите: используйте лемму о диагонали , чтобы создать самореферентное предложение A, которое эквивалентно для всех #X. PA + A доказывает [ T(#X) <-> X ].
Это не то, что вам нужно, потому что квантор находится за пределами предиката доказательства, и мы не говорим, что T(#X) <-> X, мы скорее используем предикат доказательства, чтобы сказать, что PA + A доказывает [ T(#X ) <-> X ].
Следующий вопрос, соответствует ли PA + A? Что ж, мы можем показать, что PA + A доказывает Not Con(PA+A). Используйте лемму о диагонали, чтобы определить предложение s, такое что PA + A доказывает Not T(#s) <-> s. Предполагая A, мы также имеем PA + A доказывает s <-> T(#s). Следовательно, предполагая A, PA + A, получаем противоречие.
Кроме того, я хотел бы поговорить дальше, если вы все еще интересуетесь этой темой. Спасибо!
ифигения