Смуллян (1991, 2001) убедительно доказывал, что теорема Тарского о неопределимости заслуживает того же внимания, что и теоремы Гёделя о неполноте. То, что последние теоремы могут многое сказать обо всей математике и, что более спорно, о ряде философских вопросов (например, Lucas 1961), менее чем очевидно. Теорема Тарского, с другой стороны, относится не непосредственно к математике, а к внутренним ограничениям любого формального языка, достаточно выразительного, чтобы представлять реальный интерес. Такие языки обязательно способны к достаточной самореференции, чтобы к ним можно было применить диагональную лемму. Более широкое философское значение теоремы Тарского более очевидно. - википедия
Может ли кто-нибудь привести пример «доказательства», в котором неправильно используется теорема Гёделя о неполноте, когда вместо этого следует использовать теорему Тарского о неопределимости и указать на ошибку? Например, я часто слышу утверждение «Арифметика Пеано неполна/противоречива», оправдываемое обращением к Гёделю — что в этом плохого?
Нет ничего плохого в том, чтобы обосновать заявление о непоследовательности или неполноте арифметики Пеано ссылкой на теоремы Гёделя о неполноте; утверждение является прямым применением первой теоремы о неполноте.
Гёдель показал, что любая формальная система, обладающая достаточной выразительной силой для выполнения формальной арифметики, была либо непоследовательной, либо неполной в том смысле, что в языке этой системы будут предложения, которые эта система не может ни доказать, ни опровергнуть.
Теорема Тарского показала, что ни один непротиворечивый формальный язык не может определить свой собственный предикат истинности. В частном случае этого ни одна непротиворечивая формальная система арифметики не может включать в себя предикат, применимый ко всем и только к истинным предложениям арифметики на языке этой формальной системы (и при предполагаемой интерпретации этого языка).
Смысл Смалльяна, насколько я понимаю, заключается в следующем:
1) В результате, что арифметическая истина не может быть определена в системе арифметики, Тарский «почти» получил результаты Гёделя.
2) Большая часть (несколько небрежных) философских дискуссий о теоремах Гёделя предполагает, что они доказывают существование недоказуемых арифметических истин. Однако доказательства Гёделем его теорем были выражены чисто синтаксически в том смысле, что они не ссылались на истину, а только на формальную доказуемость в рамках чисто синтаксически определенной формальной системы. Действительно, поскольку Тарский дал первое удовлетворительное определение истины для формальных систем в 1936 году, а результаты Гёделя были опубликованы в 1931 году, у Гёделя не было формально приемлемого понятия истины. По сути, Гёдель нашел умный способ интерпретировать арифметические предложения как формальные доказательства в арифметике и построил предложение, которое «говорило» о себе, что оно недоказуемо в рамках системы арифметики.система непротиворечива, что предложение будет истинным. Однако вывод Гёделя состоял не в том, что существуют недоказуемые истины; скорее дело было в том, что каждая система, подходящая для арифметики, либо непоследовательна, либо будет иметь арифметические предложения, которые система не решает. Это никоим образом не отсылает к понятию истины.
3) Суть теорем Гёделя в том, что арифметика неразрешима механически. Точка зрения Тарского состоит в том, что никакая непротиворечивая система не может определить предикат истины для языка, на котором он сформулирован. Из этих двух работ Тарского, по-видимому, имеет более богатое философское значение. (Например, никакая формальная модель английского языка не может определить «истинно в английском языке», в то время как результаты Гёделя, похоже, вообще не применимы к английскому языку.)
Я не знаю ни одного примера «доказательства», в котором апелляция к Гёделю действительно должна была бы быть сделана Тарскому так, как задаются ваши вопросы. (Но это большой мир.)
Джозеф Вайсман