Можем ли мы допустить калибровочные неинвариантные члены в калибровочной теории?

Термины варианта калибровки в действии возникают в двух разных случаях:

1) Когда мы хотим проквантовать калибровочную теорию, нам всегда нужно зафиксировать калибровку. Чтобы корректно зафиксировать калибровку (что предполагает сокращение числа конфигураций калибровочных полей, по которым мы интегрируем), мы должны модифицировать действие, вводя призраки — поля с неопределенной нормой в гильбертовом пространстве. В случае неабелевых теорий (и в случае абелевых, когда мы накладываем нелинейное в калибровочном поле условие фиксации калибровки) результирующее действие не является калибровочно-инвариантным — по крайней мере, при «обычных» калибровочных преобразованиях . Однако вместо этой «обычной» симметрии возникает другая симметрия, реализующая калибровочную инвариантность, — так называемая БРСТ-симметрия. Результирующее действие BRST-инвариантно,

2) В некоторых теориях (киральных калибровочных теориях) эти тождества нарушаются так называемой калибровочной аномалией. Аномалия закодирована в 3-точечном эффективном действии, которое содержит информацию о треугольной диаграмме с втекающими в нее фермионными киральными токами; на самом деле он точен в одну петлю. Генерирует аномальный манометрический ток$J^{\mu}$сохранение,

$$\partial_{\mu}J^{\mu} = A(x), \quad \text{where } A(x) \ \text{is the anomaly functional}$$ Хотя функционал аномалии является локальным (т. е. представляет собой интеграл от полинома производных в импульсном пространстве), эффективное действие $\Gamma$создание аномалии, $$\tag 1 \delta_{\epsilon}\Gamma = -\int A(x)\cdot \epsilon ,$$ является нелокальным, поэтому нельзя добавить контрчлен, совпадающий с аномалией, не нарушая локальности теории.

3) Если исходная калибровочная теория безаномальна (т. е. калибровочно-инвариантна), но существует нетривиальное сокращение калибровочных аномалий между разными фермионами, то после интегрирования некоторых из этих фермионов соответствующее эффективное действие должно содержать фиксированную калибровочную -вариантные члены, чтобы сохранить калибровочную инвариантность. В литературе эти термины называются терминами Весса-Зумино. В непротиворечивых калибровочно-инвариантных теориях они локальны! Это связано с тем, что обычно эти теории включают скалярный сектор, который интерпретируется как сектор полей Голдстоуна. Это может быть сектор, подобный Хиггсу, связанный с механизмом Хиггса, или физические частицы, такие как октет псевдоскалярного мезона. Получается, что полюс от нелокального эффективного действия "поглощается" Голдстоунами.$\varphi$, а вместо нелокального действия у нас есть такие термины, как

$$\tag 2 \Gamma_{WZ} \simeq \int d^{4}x \varphi (x) A(x)$$ При калибровочном преобразовании имеем $\varphi(x) \to \varphi(x) +\epsilon$, поэтому калибровочная вариация $(2)$воспроизводит $(1)$.

Наивно говоря, калибровочно-инвариантный лагранжиан в квантовой теории поля (КТП) не может иметь никакого некалибровочного инварианта, поскольку наличие любого такого члена сделало бы теорию неперенормируемой. Вот почему одна из наших самых известных теорий - квантовая электродинамика (КЭД) имеет только калибровочно-инвариантные члены.

Так думало большинство квантовых теоретиков поля до конца 1960-х годов. Открытие идеи перенормируемых групп (РГ) в КТП привело к изменению отношения. Идея РГ также помогла нам понять, почему перенормировка работает в КТП и почему совершенно правильно вычитать 2 бесконечных величины, чтобы получить конечный результат.

Тесно связанной с РГ идеей является теория эффективного поля. Теория эффективного поля - это способ переформулировать данную КТП так, чтобы к шкале импульса или энергии теории применялась отсечка, сохраняя только перенормируемые члены. Несмотря на наличие обрезания, можно восстановить континуальный предел теории. Все неперенормируемые члены в теории подавляются возрастающими степенями отношения энергии отсечки к планковской энергии. Эта идея выросла из работы Уилсона по РГ в 1974 году и была развита Вайнбергом в серии статей с 1975 по 1990 год.

Идея эффективной теории поля помогает объяснить, почему КЭД имеет только 3 члена при низкой энергии, и все 3 члена калибровочно-инвариантны, а теория полностью перенормируема. С чего бы природе быть такой доброй? Ответ заключается в том, что на самом деле эта теория содержит бесконечное число неперенормируемых членов, в том числе бесконечное число некалибровочно-инвариантных членов. Все эти члены подавляются при низкой энергии, как описано в предыдущем абзаце.

Итак, чтобы окончательно ответить на ваш вопрос, да, лагранжиан для данной КТП может иметь некалибровочный инвариант и, следовательно, неперенормируемый член, но эффективная теоретическая формулировка этой теории подавляла бы такой член, и он внес бы практически нулевой вклад в окончательный результат. количество, рассчитанное по такой теории. Но такие сроки нас ждут, когда мы прощупаем энергетические масштабы, близкие к масштабу Планка!