Как могли бы существовать математика и логика без нас, если они — созданные нами понятия, независимые от реальности?

Существовали бы математика и логика, если бы мы не существовали, несмотря на то, что создали их, и не имели соответствия с реальностью?

Есть две разные вещи, которые «математика и логика» могут означать так же, как «физика» может относиться к физическим объектам или нашим теориям о них. Последние не могут без нас существовать, первые могут (по здравому смыслу). Не существует убедительного аргумента относительно того, существуют ли математические и логические сущности сходным образом, но нет и возражений против этого. Так что они могут, и то, что мы создали, является лишь их несовершенным отражением.
Я думаю, что этот вопрос следует перефразировать, так как он предполагает, что мы создали математику и логику.

Ответы (5)

Возьмем законы обратных квадратов. Вы можете рассматривать их как математические или опирающиеся на логику, но они геометрически и реляционны и просто являются частью бытийности вещей. Мы думаем, что задействованные отношения исходят из условий существования чего угодно, а не ничего.

Против бесконечности. Действительно полезный умственный инструмент, но которого никогда не существовало в мире. Точное определение числа пи и возможность дифференцирования основаны на воображении, что ряды бесконечны. Они помогают нам мысленно перемещаться между контекстами, линейными и круговыми, дискретными и непрерывными.

Итак, у нас есть вещи, которые зависят от подсчета, которые зависят от свойств твердых тел примерно в нашем масштабе и примерно в нашей среде (не, например, в квантовом масштабе или на поверхности нейтронной звезды), которые абсолютно существуют, в определенных случаях, без нас в мире. Затем у нас есть их обобщения и абстракции, которых нет; наряду с идеализациями, такими как бесконечность и идеально круглые круги, которых также никогда не существует в мире.

Логика помогает нам организовать наш опыт, и она существует как ментальное созвездие вокруг звезды наших собственных забот. Но есть и другие звезды, целая вселенная галактик других способов мышления и организации опыта.

+1: Часто забывают, учитывая, как часто общая теория относительности Эйнштейна считается геометрической теорией по преимуществу, что в ньютоновской гравитации и ЭМ Максвелла есть геометрические элементы - как вы сказали, «законы обратных квадратов ... являются геометрическими». ', квадрат, возникающий из-за размера сферы, окружающей гравитационный или электрический источник.
Если число пи, бесконечность и другие — это всего лишь абстрактные вещи, которые можно сконструировать в математике, хотя они не могут иметь физической реализации, они должны быть чем-то, что возникло в нашем мозгу, и к ним можно получить доступ усилием воли … @MoziburUllah вы бы согласились? Возможно, это говорит о том, что Вселенная не может иметь лежащей в основе математической теории?
@draks: Хороший вопрос. Я забыл, кто сказал, что это чудо, что физическая вселенная может быть описана таким образом. Забыто, что когда физика начиналась, она делалась концептуально, а не математически, хотя в ней и были элементы математики, как в «Тимее » . Я не думаю, что Вселенную можно полностью описать математически, поскольку мы обладаем сознанием и являемся частью Вселенной, а математика не имеет никакого отношения к сознанию, несмотря на такие модели, как марковский мозг и нейронные сети.
Возможно, математика — это аспект необходимости в мире, а сознание — аспект свободы.
Пи, вероятно, имеет значение для широкого круга умов в самых разных условиях жизни, поэтому в этом смысле и в этой степени оно универсально. Для существ, более осведомленных о том, что они живут на поверхности или о том, что пространство искривлено, они вполне обоснованно считали бы число пи всего лишь одним из отношений длины окружности к радиусу и, возможно, не очень полезным для них. Лежащая в основе математика — это был бы человеческий опыт, в то время как вселенная делает конкретные случаи, считает и соотносит. Эта вселенная абсолютно имеет сложную единую структуру, независимо от того, воспринимает это кто-либо или нет. И мы
иметь опыт.
@draks ... Я считаю, что реальность непротиворечива (или, по крайней мере, я принимаю это как рабочую гипотезу), но не избыточна, то есть ее можно смоделировать, но не полностью свести к подмножеству самой себя. Другими словами, я считаю, что полная и непротиворечивая теория всего невозможна.
@reaanb звучит как неполнота Гёделя. ..

Есть две основные позиции:

Платонизм, утверждающий мир идеальных форм и чисел, геометрия и математика, идеально являются частью этого мира. Тогда математика является открытием, а не изобретением. Аристотель, например, сразу соглашается с этим в своих «Категориях» . Хотя эта позиция была широко распространена в досовременную эпоху, сегодня она встречается гораздо реже.

Конструктивизм - это позиция, которую вы сами указываете. Здесь математика задумана людьми и поэтому изобретена, а не является открытием. Это обычная позиция в современную эпоху. Однако один теоретик категорий, Юджиния Ченг, объяснила, что, когда она говорила с философами, она была убеждена, что они были сконструированы, но когда она вернулась к размышлениям о математике, она была убеждена, что они реально существуют.

Гегель изобрел форму логики, которая была динамичной и органичной. Оно возникает в мире и формирует мир. Он назвал это диалектикой как намек на элейских монистов из Ионии, которые первыми начали разрабатывать такую ​​логику. (Это также имеет явное сходство с диалектикой, разработанной в Дао). Это далеко от нашего современного представления о логике, которое является чисто синтаксическим и формальным.

Один из способов подумать об этом — увидеть, что логика — это форма необходимости. И для Гегеля его «Логика природы» имеет этот аспект, она тоже является формой необходимости. Ближайшим аналогом этому сегодня являются естественные законы физики, которые являются необходимыми законами самой природы.

Физики иногда говорят об открытии законов природы в чистой форме необходимости. В этой чистой форме в нем не было бы ничего случайного. Например, в Стандартной модели физики элементарных частиц имеется около тридцати свободных параметров. Это условно. Уменьшить это число — цель некоторых физиков.

Я бы сказал, что платонизм (в той или иной форме) по-прежнему является наиболее широко распространенным взглядом. Я имею в виду теоретико-множественный редукционизм и разновидности структурализма, подобные структурализму ante rem Стюарта Шапиро , которые постулируют абстрактные математические объекты, хотя и отличаются от наивного платонизма. Однако, безусловно, верно, что платонизм гораздо более разнообразен, чем традиционная позиция, и что у него есть конкуренты. (Но заметьте также, что дебаты о платонизме и номинализме существовали и в средние века; Оккам был самым известным сторонником номинализма.)
@Dennis: Возможно, я серьезно не рассматривал это. Но мне кажется, что платонистский взгляд расходится с светским, материалистическим взглядом, который очень распространен; и это то, на чем я основывал свое суждение.
согласился с тем, что существует напряженность, поэтому (я думаю) наблюдается рост антиреалистических взглядов. Я думаю, что толчок к платонизму обычно исходит из представления о том, что нам нужны какие-то абстрактные объекты — свойства, пропозиции или какие-то подобные сущности — и затем, как только это принято, сопротивление математической абстракции ослабевает. Эти же люди, тем не менее, обычно придерживаются «материалистического» взгляда на то, что вся материя/вещество является физическим (в отличие, например, от ментального) — они просто отделяют конкретное/абстрактное различие от физического/ментального/какого бы то ни было различия.
Указание на связь с элеатами также было точным. Вероятно, некие элеатические симпатии являются наиболее распространенной мотивацией номинализма. Это хорошая недавняя статья Сэма Коулинга на эту тему: personal.denison.edu/~cowlings/eleatics.pdf
Вы путаете конструктивизм с интуиционизмом: конструктивизм говорит, что «доказательства должны быть конструктивными», интуиционизм говорит, что математика — это продукт человеческого разума. Вы также не правы, утверждая, что интуитивизм, который вы на самом деле имеете в виду, является доминирующим взглядом. По-видимому, это связано с точкой зрения, которой я пытался поделиться с вами по другому вашему вопросу, где, казалось, вы верите, что платонизм является единственной формой реализма, и что вы путаете интуитивизм с номинализмом. Также ошибочно и неверно говорить, что платонизм и конструктивизм являются двумя «основными» взглядами.
@Not_here: Нет, не совсем так. Похоже, у вас сложилось впечатление, что я хотел написать энциклопедический ответ, тогда как, учитывая уровень понимания, указанный в том, как ОП задал вопрос, я хотел набросать ответ, не вдаваясь в подробности.
@MoziburUllah: Я должен согласиться с Not_here в том, что неправильно описывать конструктивизм в математике так, как это сделали вы: «Конструктивизм — это позиция… математика задумана людьми, поэтому она изобретена, а не является открытием». Среди математиков, по крайней мере, «конструктивизм» касается не дебатов между «открытием» и «изобретением», а (как отмечено Not_here) относительно типов приемлемых доказательств. В частности, в математическом конструктивизме доказательства в форме «предполагать не Р, противоречие, следовательно, Р» без фактического показа того, как построить Р , неприемлемы. [более]
[продолжение] Похоже, вы путаете математический конструктивизм с конструктивистской эпистемологией . - В качестве примечания: интуиционистская логика является формой конструктивной логики, но не всякая конструктивная логика является интуиционистской; тем не менее, многие люди путают эти два понятия.
@Alexis: Я провел аналогию с открытием/изобретением, потому что подумал, что это хороший способ показать различия между двумя широко противоположными позициями. Я знаю, что такое интуитивизм, Дален написал целую книгу о Брауэрсе и его интуитивизме.
@MoziburUllah: Хорошо, я хочу сказать, что в этом контексте я чувствую, что это сбивает с толку обозначение позиции «изобретение» как «конструктивизм», учитывая, что последний термин имеет особое значение в математике и философии математики, которое не о неплатонистских взглядах на онтологию математических объектов.

Есть три возможных позиции по этому вопросу, которых придерживаются соответственно строгие платоники (есть ли такие сегодня?), теисты и атеисты [1]:

  • Строгий платонизм : самосогласованные формальные системы реально существуют в мире чистых форм от вечности и временно в умах людей, которые их открывают.

  • Теистический платонизм : самосогласованные формальные системы существуют фактически в Боге от вечности и во времени в умах людей, которые их открывают.

  • Художественность : самосогласованные формальные системы существуют практически только в умах людей, которые их строят или узнают о них, точно так же, как сюжет романа существует практически только в умах его автора и его читателей.

«Открывать» в обоих вариантах платонизма и «строить» в беллетристике — это одна и та же деятельность, рассматриваемая с разных точек зрения. Все согласны с тем, что математики могут разрабатывать только те непротиворечивые формальные системы, которые могут существовать, и в этом смысле можно сказать, что они «открывают» их. Однако для атеиста эти формальные системы нигде и никак не существовали до того, как были «открыты», а потому строго «строятся» математиками.

Далее, и платонизм, и беллетристика могут быть «многочисленны» [1], в том смысле, что все самосогласованные формальные системы равноправны, так что

  • Евклидова геометрия не менее и не более «реальна» или «истинна», чем эллиптическая или гиперболическая геометрия как формальные системы, и

  • (ZFC + CH) не менее и не более «реальны», или «истинны», чем (ZFC + ¬CH) как формальные системы [2].

Ссылки/Примечания

[1] Балагер, М., 1998. «Платонизм и антиплатонизм в математике». https://books.google.com/books?id=UEyPF1T6EbUC

Следует отметить, что многогранный платонизм Балагера эквивалентен структурализму ante rem Резника и Шапиро:

Резник, М., 1997. «Математика как наука о закономерностях». https://books.google.com/books?id=EU2G_BFt7YsC

Шапиро, С., 1997. «Философия математики: структура и онтология». https://books.google.com/books?id=9xVERjy9qPQC

[2] ZFC = теория множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора. CH = гипотеза континуума.

Курт Гёдель показал в 1940 году, что CH нельзя опровергнуть ZFC.

Пол Коэн показал в 1963 году, что CH нельзя доказать из ZFC.

Следовательно, если ZFC непротиворечива, то (ZFC + CH) и (ZFC + ¬CH) также непротиворечивы.

Созданное или изобретенное, трудно отрицать, что «2 + 2» всегда будет равняться «4», поскольку это факт логической необходимости; или что теорема Пифагора или теорема о простых числах всегда будут верны, независимо от того, если рядом не будет другого человека, который мог бы доказать это самому себе. В этом смысле математические истины ни на йоту не зависят от эмпирической реальности, но будут ли эти истины «значить» что-либо без присутствия людей — вопрос совершенно бессмысленный. Нам нужно принять аксиомы, правила и синтаксис, на которых основано математическое утверждение, чтобы утверждать что-либо вообще. Однако соответствие реальности не имеет никакого отношения к тому, что раскрывает математическое знание. Это похоже на то, как правила игры в шахматы не зависят от эмпирической реальности, в которую нужно играть. В альтернативной вселенной, Вы можете представить себе игру в шахматы по тем же правилам, которым мы подчиняемся в нашей вселенной. Аналогично, вот почему интересно рассмотреть, как математика может быть не только универсальной, но и содержать истины, относящиеся не только к нашей вселенной и всем возможным мирам.

Тем не менее, есть некоторые случаи, когда математика продвигается вперед или ставится под сомнение тем, что понимается об эмпирической реальности, такой как квантовая логика. Наши знания в области чистой математики могут быть развиты сначала, а затем откроется их применение в окружающей нас вселенной. Примерами являются неевклидова геометрия и предположения о многомерной геометрии в теории струн. Или, с другой стороны, и по осмыслению истории, когда исчисление было изобретено Лейбницем и Ньютоном независимо друг от друга, оно предназначалось для его непосредственного применения в физике и так далее. «Необоснованная эффективность» объяснения эмпирической реальности за пределами первоначального применения этих математических инструментов почти всегда значительно и удивительно превосходит их первоначальное применение.

"трудно отрицать, что "2 + 2" всегда будет равно "4" - Ну, не обязательно. В модулярной арифметике , и в частности, в Z/2Z, оно может равняться "0". И не только континуум- гипотеза независимо от аксиом ZFC, мы можем на самом деле математически доказать , что оно одновременно «истинно» или «ложно», используя технику «форсирования»; в статье «Теоретико-множественная мультивселенная» есть подробности. [подробнее]
[продолжение] Тем не менее, все это еще больше поддерживает ваш комментарий о том, что «[нам] нужно принять аксиомы, правила и синтаксис, на которых основано математическое утверждение, чтобы утверждать что-либо».
Язык может быть разным, но возьмите вещь, добавьте еще одну вещь, сколько у вас вещей? Ответ всегда будет эквивалентен тому, что мы понимаем под «двумя вещами». Другим примером может быть то, что невозможно расположить эти две вещи в квадрате с равными сторонами, независимо от того, знаете ли вы о математике простых чисел.

Кажущаяся непоследовательность, которую вы излагаете, является результатом непонимания того, что есть два типа "математики и логики" - и отношения к ним как к одному !

Есть « естественная » математика/логика и « рукотворная » математика/логика.
Первый тип «существует» независимо от «нас», потому что существует Вселенная.
Второй тип «существует», потому что создан «нами».

Поэтому, если ваш вопрос относится к первому типу, то они «существуют без нас». Если это относится ко второму типу, то нет!

Как могли бы существовать математика и логика без нас, если они — созданные нами понятия, независимые от реальности?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v