Может ли классическое действие для электрона в постоянном магнитном поле быть периодически бесконечностью для различных значений времени?

Движение в$x$,$y$плоскость следует по окружности. Пусть этот круг имеет радиус$R$. Уравнение движения следует из силы Лоренца

$$\boldsymbol{F} = \frac{e}{c} \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}.$$

Сила центростремительна, поэтому ее величина равна$mv^2/R$, а уравнение движения

$$\frac{m v^2}{R} = \frac{eBv}{c}.$$

Поэтому частица движется по окружности со скоростью

$$v = \frac{e B R}{m c},$$

и период одного цикла в$x$,$y$самолет

$$\Delta t = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2 \pi m c}{e B} = \frac{2\pi}{\omega}.$$

Целые кратные этого периода в точности являются значениями$T$для которого$\tan(\omega T/2) = 0$. Теперь рассмотрим тревожный термин в классическом действии:

$$\frac{\omega/2}{\tan(\omega T/2)} \left( (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 \right).$$

Когда$T = n\Delta t = 2\pi n/\omega$, этот член не обязательно расходится, потому что частица вернулась в исходную точку, где$x_a = x_b$и$y_a = y_b$, так что этот термин фактически приближается к неопределенной форме$0/0$.

Чтобы упростить эту неопределенную форму, выберем координаты так, чтобы$t_a = 0$и$t_b = T$, а движение принимает вид

$$x(t) = \cos(\omega t), \quad y(t) = \sin(\omega t).$$

Затем

$$\begin{align} (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 &= (\cos(\omega T)-1)^2 + \sin(\omega T)^2 \\ &= 2 - 2 \cos(\omega T). \end{align}$$

Следовательно, термин в действии

$$\frac{\omega}{2} \frac{2 - 2 \cos(\omega T)}{\tan(\omega T/2)} = \omega\sin(\omega T),$$

который конечен для всех$T$. Проблема, которую вы определили в$T = 2\pi n/\omega$это всего лишь устранимый разрыв, а не действительное расхождение.