Интеграл по траекториям когерентных состояний гармонических осцилляторов

Я изучаю заметки, предоставленные Беном Саймонсом по этой ссылке ( http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~bds10/tp3.html ). В настоящее время я нахожусь на лекции 16 (Приложения и соединения). Соответствующий учебник - Теория поля конденсированных сред (гл. 4). Первая страница выводит статистическую сумму для гармонического осциллятора через параметризацию

$$\psi(\tau) = \sqrt{\frac{m\omega}{2 \hbar}}\left(q(\tau) + \frac{ip(\tau)}{m\omega} \right).$$ Это значит, что $$\bar{\psi}(\tau) = \sqrt{\frac{m\omega}{2 \hbar}}\left(q(\tau) - \frac{ip(\tau)}{m\omega} \right).$$

Это подтверждается в Лекции 16 (стр. 1), когда автор показывает

$$\hbar \omega \bar{\psi}\psi = \frac{m\omega^2}{2}\left(q^2 + \frac{p^2}{m^2\omega^2}\right).$$

В лекции в формате PDF утверждается, что функция распределения может быть записана как:

$$Z = \int D[\bar{\psi},\psi]exp\left[-\int_{0}^{\beta}(\bar{\psi}\partial_\tau\psi + \hbar \omega\bar{\psi}\psi)\right] = \int D[p,q] exp\left[-\int_{0}^\beta d\tau\left(\frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 - \frac{ip\dot{q}}{\hbar}\right)\right].$$

Моя цель — доказать это равенство. Для этого я заменил параметризацию$\psi$и$\bar{\psi}$и нашел, что интеграл действия в$e^{-action}$быть

$$\int_0^\beta \frac{m\omega}{\pi \hbar} \bigg[q\dot{q} + \frac{i\dot{p}q}{m\omega} - \frac{ip\dot{q}}{m\omega} + \frac{p\dot{p}}{m^2\omega^2} + \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\bigg].$$

Используя интегрирование по частям по второму члену, я получил:

$$\int_0^\beta \frac{m\omega}{\pi \hbar} \bigg[ \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 - \frac{ip\dot{q}}{m\omega} - \frac{ip\dot{q}}{m\omega} + q\dot{q} + \frac{p\dot{p}}{m^2\omega^2}\bigg].$$

Некоторые части этого интеграла равны выражению, заявленному в лекции 16 pdf. Это, кажется, предполагает, что

$$D[p,q] = D[\bar{\psi}, \psi]exp\left[\frac{m\omega}{\pi \hbar}\left(- \frac{ip\dot{q}}{m\omega} + q\dot{q} + \frac{p\dot{p}}{m^2\omega^2}\right)\right].$$ Однако я не знаю, как это доказать. Может ли кто-нибудь объяснить, почему выполняется равенство ниже?

$$Z = \int D[\bar{\psi},\psi]exp\left[-\int_{0}^{\beta}(\bar{\psi}\partial_\tau\psi + \hbar \omega\bar{\psi}\psi)\right] = \int D[p,q] exp\left[-\int_{0}^\beta d\tau\left(\frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 - \frac{ip\dot{q}}{\hbar}\right)\right].$$