Принцип наименьшего действия (классическая и квантовая теория)

I) Мой первый вопрос: «Почему классические системы должны подчиняться принципу наименьшего действия?» Когда мы находим пропагатор в квантовой физике, мы обнаруживаем, что амплитуда равна сумме по всем возможным путям, взвешенным по фазе$e^{iS/\hbar}$. Тогда человек приходит к выводу, что$\frac{\partial S[q]}{\partial q}$должен исчезнуть, когда$\hbar \rightarrow 0$. Поэтому я бы предположил, что классический принцип наименьшего действия — не что иное, как частный случай более общей квантово-механической формулировки интеграла по путям. Это нормально?

II) Во-вторых, если мы пройдем через вывод того, как мы придем к тому факту, что фаза, связанная с путем, равна$e^{iS[q]/\hbar}$, начиная с первого принципа, мы замечаем, что следующие предположения играют очень важную роль:

1. Импульсное пространство полно, т.е.$\sum |p\rangle \langle p| = 1$.

2. Система является гамильтоновой системой,

   2а. Гамильтониан не зависит исключительно от времени.

   2б. Оператор кинетической энергии имеет вид$\hat{P}^2/2m$.

(Я пропустил что-нибудь еще?) Хотя многие интересные системы легко следуют этим предположениям, меня особенно интересует 2b. Как поведет себя система, нарушающая 2b, при классическом пределе (может ли вообще быть такая система, прежде всего?) или что произойдет с принципом наименьшего действия.

Итак, если (2) полностью выполняется, что происходит в большинстве случаев, то можно ли сказать, что «принцип наименьшего действия работает, потому что фазовое пространство является полным пространством»?