Можно ли использовать индуктивные аргументы в логике первого порядка, и если нет, то почему?

После прочтения вопроса от rus9384 Почему ошибочное обобщение называют неформальной ошибкой? Я задавался вопросом, может ли индукция быть частью любого аргумента в логике первого порядка (FOL).

rus9384 символизировал пример индуктивного аргумента: ∃x: F(x) ∴ ∀x: F(x)

Учитывая правила экзистенциального исключения и универсального введения, я не думаю, что этот аргумент может даже начаться, но я могу ошибаться.

Ясно, что мы можем пойти в противоположном направлении. Вот доказательство перехода от универсально квантифицируемого предложения к экзистенциально квантифицируемому: ∀x: F(x) ∴ ∃x: F(x)

введите описание изображения здесь

Меня не интересует, является ли индукция заблуждением, формальным или неформальным, но в какой степени аргументы индукции могут быть символизированы или вообще приведены в ЛЖ.

ВОПРОС: Можно ли в ВОЛ проводить индуктивные рассуждения, и если нет, то почему? Если они могут, пример их использования был бы полезен.

Ссылка

Редактор и средство проверки естественной дедукции Кевина Клемента на JavaScript/PHP в стиле Fitch http://proofs.openlogicproject.org/

Первоначальная мысль — «Нет », потому что FOL — это дедуктивная система, но я открыт для того, чтобы оказаться неправым.
Но моя точка зрения заключалась в том, что ошибочное обобщение противоречит дедуктивным рассуждениям. Индуктивное рассуждение фокусируется на предпосылках, а дедуктивное — на выводах. Точно так же, как и в дедуктивных рассуждениях, мы предполагаем здесь первую часть «аргумента» истинной (для некоторого х...).
@rus9384 Это вопрос, отличный от вашего вопроса. Я пытаюсь понять, как ответить на ваш, но это отдельно. Ваш вопрос, кажется, зависит от определения формальной ошибки в отличие от неформальной. Однако можно ли назвать ошибочное обобщение формальной ошибкой с формальным обращением к ЛЖ, когда ЛЖ не может даже обратиться к индукции? Но потом мне стало интересно, что такого в экзистенциальном исключении и универсальном введении, из-за чего индукция не работает в FOL. Это стало моим новым вопросом.
Кроме того, мне интересно, требовалось ли утверждение «Fa» в доказательстве, поскольку ∀x: F(x) ∴ ∃x: F(x) верно из определения. Или... Хм, может быть, чтобы доказать это, мы должны использовать логику множеств или около того.
@rus9384 Мне пришлось убрать ∀x, что означает назвать какой-то объект из непустого домена. Я могу выбрать любое имя, поэтому я выбрал «а». Имея этот именованный элемент, я могу затем ввести квантор существования. Этот шаг не имеет ничего общего с индукцией, хотя он использует квантификаторы, как и вы, что, как мне кажется, было хорошим примером в вашем вопросе.
Ах, вот оно, просто определение домена. Это правило не является индуктивным по сути, это известное правило в ВОЛС, поэтому никаких индуктивных шагов быть не должно. Ну, кроме предложения предпосылки.
«Индукция» в ВОЛ — это Fa,Fb,... Fz ∴ ∀xFx , где, конечно, число посылок конечно. ЕСЛИ «индивидуумы»: a, b, ... z не являются всеми объектами вселенной, тогда, конечно, аргумент недействителен.
@MauroALLEGRANZA Имеет смысл иметь конечное число предпосылок, все из которых верны.
ИМО, это имеет смысл, потому что индукция основана на опыте (эмпирических доказательствах), и за конечное время мы можем иметь только конечное количество «доказательств».
Разве ∀x: F(x) ∴ ∃x: F(x) не ложно в пустой области? Каждый элемент пустого набора — летающий фиолетовый слон, но летающих фиолетовых слонов нет. Предполагается ли, что домен непустой, без необходимости делать это явным? Просто любопытно.
@ user4894 Верно. Домены не пустые.
Изменить: «Индуктивные аргументы» заменяют «индуктивные аргументы».

Ответы (2)

Вы можете формализовать индуктивную логику, но обычно это требует введения объемлющей байесовской теории вероятностей. Причина, по которой логика первого порядка сама по себе не работает, заключается в том, что логика первого порядка проверяет, является ли аргумент действительным или недействительным . Аргумент действителен тогда и только тогда, когда истинность посылок гарантирует истинность заключения. Напротив, индуктивный аргумент обеспечивает вероятное подтверждение вывода. Чтобы оценить индуктивные аргументы, вам нужен способ оценить степень поддержки набора предпосылок для вывода. Логика первого порядка не предусматривает такого положения. Поэтому для формализации индуктивной логики используется теория вероятностей. Интуитивно вы хотите знать, насколько вероятно положение дел P.помещения.

Как следствие, приведенная вами форма аргумента (∃x: F(x) ∴ ∀x: F(x)) на самом деле не соответствует форме индуктивного рассуждения. Во-первых, экзистенциальная квантификация требует, чтобы удовлетворялась только одна сущность — F. Почти никакие индуктивные аргументы не имеют такой формы и обычно включают большое количество наблюдений. Фактически, в естественных науках индуктивные аргументы обычно делают проверяемые гипотезы относительно фоновых гипотез из других научных областей (это, кстати, еще одна причина, по которой логика первого порядка не может адекватно «формализировать» индуктивные рассуждения). Следовательно, форма, которую вы здесь перечисляете, является в лучшем случае в высшей степени идеализированным способом мышления об индуктивных рассуждениях, который настолько оторван от индуктивных рассуждений на практике, что бесполезен. Во-вторых, индуктивные аргументы чаще всего имеют форму предсказаний того, какими, вероятно, будут наши будущие наблюдения, и не требуют универсальной количественной оценки в какой-либо области. Например, если вы возразите: «Я пробовал тысячи лимонов, и каждый из них был кислым. Следовательно, следующий, который я попробую, скорее всего, будет кислым». Это совершенно убедительный индуктивный аргумент, который не требует универсальной квантификации в области.

Посетите следующую страницу, если хотите узнать больше: https://plato.stanford.edu/entries/logic-inductive/

Я посмотрю на ссылку SEP.
Я собираюсь принять это из-за ссылки, которую вы предоставили. Это позволяет мне исследовать это дальше.
Одной вероятности недостаточно. Вам нужна статистика и анализ достоверности. Но даже этого недостаточно, чтобы различить причины и следствия, что также является частью человеческой логики.

Вы можете представить индуктивные аргументы, используя различные обозначения , используемые для обозначения логики первого порядка. Однако нет никакого другого смысла, в котором вы можете «создать» их в логике первого порядка.

Некоторые примеры индуктивных аргументов, представленных в общей нотации для логики первого порядка, в которой все они недействительны, включают:

  1. Па, Pb, Pc, Pd, Pe |= Pf
  2. ∃xPx |= ∀xPx
  3. А→В, А→С, А→D, А→Е |= А→F

Примеров бесконечно много.

Я вижу, что первые три недействительны, потому что я мог придумать интерпретации, в которых они недействительны. Я также вижу, как четвертый будет действителен из-за полной спецификации домена. Интересно, есть ли что-то в экзистенциальном правиле исключения и универсальном правиле введения, что гарантирует, что такие индуктивные аргументы невозможны в FOL?
Аргумент, показанный Франком, также действителен в FOL. Но является ли оно тогда дедуктивным?
@rus9384 Да, «валидный в ФОЛ» просто означает «дедуктивно корректный в ФОЛ». Индуктивно убедительные аргументы обычно описываются как имеющие индуктивную «силу», а не обоснованность.
@FrankHubeny Да. Существует множество различных способов построения допустимых наборов правил вывода для логики предикатов, которые работают. (Они работают, если они верны и полны .) Но любой законный набор правил дедукции для FOL, который включает универсальный вводной ход, должен допускать его только в очень специфических обстоятельствах. Один из способов, например, перехода от Pa к ∀xPx может быть законным, если «a» является просто переменной-заполнителем, а не конкретным членом домена. Итак, некоторые системы позволяют сделать такой ход: 1. ∀xPx 2. Pa (из одного, универсальное исключение), 3. ∀xPx (из двух, универсальное вступление)
У вас есть ссылка, где я мог бы получить больше информации? Я не ожидаю, что индукция будет возможна в FOL, но я пытаюсь лучше понять, почему не следует ожидать, что это сработает. Это помогло бы мне лучше понять , зачем нам нужна логика второго порядка, скажем, для математической индукции. Я надеюсь, что эти «очень специфические обстоятельства» для всеобщего введения могут помочь объяснить, почему. Что касается «а» как заполнителя, а не конкретного члена домена, разве это не то, что фактически делается, не позволяя пользовательскому интерфейсу с «а» в невыполненном предположении?
4 недействителен. Пусть a=2, b=4, c=6 и интерпретируем Px как " x четно". Тогда заключение НЕВЕРНО в области N натуральных чисел . Действителен со ссылкой на каждую интерпретацию.
@FrankHubeny Вопрос в вашем OP и вопрос математической индукции почти не имеют ничего общего друг с другом. Причина, по которой FOL не может адекватно оценить индуктивное рассуждение, заключается в том, что FOL — это инструмент для проверки достоверности аргументов, а свойство достоверности не относится к индуктивным рассуждениям. Математическая индукция — это метод дедуктивного доказательства, совершенно не связанный с индуктивными рассуждениями. Вам не нужна логика второго порядка для выполнения математической индукции, хотя логика второго порядка является наиболее очевидным способом ее аксиоматизации.
@MauroALLEGRANZA Аааа, ты прав, и в этом нет необходимости. Итак, удаляем.
@MauroALLEGRANZA Я не понимаю, почему область натуральных чисел становится интерпретацией области, в которой есть только три элемента. Все эти конечные области были бы недействительны, если бы это было так.
@Frank Hubeny - интерпретация не «встроена» в формулу; в int с тремя объектами вывод TRUE, а в int со всеми числами вывод FALSE. В обоих случаях посылки ИСТИННЫ. Вывод: аргумент недействителен , потому что у нас есть некоторое int, где посылки ИСТИНА, а вывод ЛОЖЬ.
Можно ли использовать индуктивные аргументы в логике первого порядка, и если нет, то почему?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v