Можно ли ускорить опорную точку в инерциальной системе отсчета при применении уравнения крутящего момента?

Question

Можно ли ускорить опорную точку в инерциальной системе отсчета при применении уравнения крутящего момента?

ксастор

Крутящий момент относительно точки = скорость изменения углового момента относительно этой точки.

Скажем, мы находимся в инерциальной системе отсчета и видим, как тело ускоряется и вращается, а другая точка (либо часть этого тела, либо внешняя точка) ускоряется.

Можем ли мы применить T = dL/dt для этого тела относительно этой точки ускорения, если мы находимся в инерциальной системе отсчета?

Я предполагаю, что можем, поскольку угловой момент зависит от точки отсчета. Есть ли какое-либо требование, чтобы эта точка не ускорялась?

ксастор

О, это была опечатка. Я исправлю это.

Ответы (3)

Можно ли ускорить опорную точку в инерциальной системе отсчета при применении уравнения крутящего момента?

О, это была опечатка. Я исправлю это.

Джон Алексиу · Answer 1

Закон, который вы утверждаете, действителен только для центра масс или для фиксированной точки в пространстве.

Закон вращения Эйлера гласит:

Чистый крутящий момент объекта относительно центра масс равен скорости изменения углового момента, измеренного в центре масс .

\begin{matrix} (1) & Т_{С} "=" \frac{г}{г т} (л_{С}) "=" \frac{г}{г т} (я_{С} ю) "=" я_{С} \dot{ю} + ю \times л_{С} \end{matrix}

$\boldsymbol{T}_C = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} (\boldsymbol{L}_C) = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} (\mathrm{I}_C \boldsymbol{\omega}) = \mathrm{I}_C \dot{\boldsymbol{\omega}} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{L}_C \tag{1}$

где точка С обозначает центр масс. Это прямой эквивалент тому факту, что результирующая сила, действующая на тело, описывает только движение центра масс. Остальное движение (около центра масс) описывается законом Эйлера.

Центр масс может быть ускоряющим (и обычно так и есть), поскольку обычно одновременно рассматриваются и крутящий момент, и сила.

\begin{matrix} (2) & Ф "=" \frac{г}{г т} (п) "=" \frac{г}{г т} (м в_{С}) "=" м {\dot{в}}_{С} \end{matrix}

$\boldsymbol{F} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}( \boldsymbol{p} ) = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(m\, \boldsymbol{v}_C ) = m\, \dot{ \boldsymbol{v}}_C \tag{2}$

Итак, что теперь происходит в другом месте A ? Рассмотрим вектор местоположения $\boldsymbol{c}$ центра масс относительно A

Угловой момент в точке A равен

\begin{matrix} (3) & л_{А} "=" л_{С} + с \times п \end{matrix}

$\boldsymbol{L}_A = \boldsymbol{L}_C + \boldsymbol{c} \times \boldsymbol{p} \tag{3}$

Чистый крутящий момент в точке A

\begin{matrix} (4) & Т_{А} "=" Т_{С} + с \times Ф \end{matrix}

$\boldsymbol{T}_A = \boldsymbol{T}_C + \boldsymbol{c} \times \boldsymbol{F} \tag{4}$

Полная производная углового момента в точке A равна

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \frac{г}{г т} (л_{А}) & "=" \frac{г}{г т} (л_{С} + с \times п) "=" Т_{С} + \frac{г с}{г т} \times п + с \times \underset{Ф}{\underset{⏟}{\frac{г п}{г т}}} \\ "=" Т_{А} + \underset{(в_{С} - в_{А}) \times (м в_{С}) "=" - в_{А} \times м в_{С} "=" п \times в_{А}}{\underset{⏟}{(в_{С} - в_{А}) \times п}} \end{aligned} \end{matrix}

$\require{cancel} \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} ( \boldsymbol{L}_A ) & = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} ( \boldsymbol{L}_C + \boldsymbol{c} \times \boldsymbol{p} ) = \boldsymbol{T}_C + \frac{{\rm d}\boldsymbol{c}}{{\rm d}t} \times \boldsymbol{p} + \boldsymbol{c} \times \underbrace{ \frac{{\rm d}\boldsymbol{p}}{{\rm d}t}}_{\boldsymbol{F}} \\ & = \boldsymbol{T}_A + \underbrace{( \boldsymbol{v}_C - \boldsymbol{v}_A ) \times \boldsymbol{p} }_{(\boldsymbol{v}_C-\boldsymbol{v}_A) \times (m\,\boldsymbol{v}_C) = -\boldsymbol{v}_A \times m\,\boldsymbol{v}_C = \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{v}_A} \end{aligned} \tag{5}$

Я вывожу следующий закон (если его никто не утверждает, назовем его законом ja72 ).

Скорость изменения углового момента в произвольной нефиксированной точке А равна чистому крутящему моменту в точке А плюс векторное произведение количества движения на скорость А.

\begin{matrix} (6) & \frac{г}{г т} (л_{А}) "=" Т_{А} + п \times в_{А} \end{matrix}

$\boxed{ \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} ( \boldsymbol{L}_A ) = \boldsymbol{T}_A + \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{v}_A } \tag{6}$

Условия, при которых производная углового момента точно равна чистому крутящему моменту в точке _A_на твердом теле, следующие:

Тело совершает чистое вращение с нулевым импульсом, $\boldsymbol{p}=0$
Точка А зафиксирована в пространстве или зафиксирована мгновенно, $\boldsymbol{v}_A=0$
Точка А находится в центре масс, что делает ее движение параллельным импульсу, $\boldsymbol{v}_A \parallel \boldsymbol{p}$
Точка А лежит на прямой, параллельной оси вращения, но проходящей через центр масс, $\boldsymbol{v}_A \parallel \boldsymbol{v}_C$

В исходном выводе Torque = dL/dt мы нигде не использовали это предположение. phys.libretexts.org/TextMaps/Classical_Mechanics_TextMaps/…
@xasthor - неправильная форма производной по времени $\dot{л} "=" \sum_{я} ({\dot{р}}_{я} \times п_{я} + р_{я} \times {\dot{п}}_{я})$ $\dot{\bf L} = \sum_i ( \dot{\bf r}_{i}\times {\bf p}_{i}+{\bf r}_{i}\times \dot{\bf p}_{i})$ Перекрестное произведение является линейным оператором, и для производных применяется правило обычного произведения.
@xasthor - тоже что такое ${\bf F}_{i}$ и ${\bf F}_{ij}$ что их сумма равна скорости?
@xasthor - законы вращательного движения Эйлера применяются только в центре масс. Вы не можете выбрать произвольное место для чистого крутящего момента, поскольку тело вращается только в том случае, если линия действия силы не находится в центре масс. Кроме того, угловой момент не в центре масс включает компонент момента импульса, который является функцией линейного движения. См. Вывод уравнений движения не в центре масс , чтобы понять, почему $\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} ( \boldsymbol{L}_A ) \neq \boldsymbol{T}_A$ в любой точке А.
производная от $r_i$ является $v_i$ который при скрещивании с $p_i$ =0, так как они находятся в одном направлении. следовательно, сумма упрощается до суммы крутящих моментов. ничто в этой сумме не указывает, что L или T находится примерно в центре масс. вроде бы о любой произвольной точке
@xasthor Я понимаю эту часть, и она есть в моем ответе также как $v_C \times p = 0$ , но есть и другие термины, отличные от нуля, которые отсутствуют в TextMaps. Не могли бы вы объяснить, как $\dot{\bf r}_{i} = {\bf F}_{i} + \sum {\bf F}_{ij}$ работает? Как скорость равна сумме сил? Подразумевается, что центр масс находится в начале координат в этом столбе.
да, это уравнение не имеет смысла. Я невнимательно прочитал перед публикацией, извините. проверьте это на google.co.in/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://… стр. 13. Здесь я цитирую Даниэля Клеппнера: «Внешний крутящий момент вокруг точки S равен производной по времени угловой момент системы относительно этой точки"
Пока я читаю это, можете ли вы взглянуть на этот связанный ответ , который устанавливает общий линейный и угловой момент для системы частиц. Это будет основой, используемой для демонстрации того, что крутящий момент и скорость углового момента приравниваются друг к другу только в центре масс, или в фиксированной точке, или если центр масс фиксирован. В системе моделей частиц точка измерения углового момента фиксирована (начало координат), и поэтому с $v_A=0$ затем $\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} ( \boldsymbol{L}_A ) = \boldsymbol{T}_A$
@xasthor - Для точки (как в одной точке) да, это правда, потому что скорость параллельна импульсу. Ибо для системы частиц (подобной твердому телу) с любым видом вращения импульс не параллелен скорости какой-либо произвольной точки.
Даниэль Клеппнер доказал это для твердого тела на странице 13 этого документа.
@xasthor - точка S зафиксирована в пространстве на странице 13. Вы можете видеть, что подразумевается между уравнениями (19.5.3)и (19.5.4). Если вы попытаетесь провести то же доказательство с точкой S , едущей по телу, вы получите мой закон. Разница в том, что положение каждой точки j равно $r_j = r_S + r_{j,S}$ так в(19.5.4) $\frac{{\rm d}\vec{r}_j}{{\rm d}t} = \vec{v}_S + \vec{v}_{j,S}$ или $\frac{г {\vec{р}}_{Дж}}{г т} \times {\vec{п}}_{Дж} "=" {\vec{в}}_{С} \times {\vec{п}}_{Дж} \neq 0$ $\frac{{\rm d}\vec{r}_j}{{\rm d}t} \times \vec{p}_j = \vec{v}_S \times \vec{p}_j \neq 0$ Я добавил в свой ответ условия, которые сделали бы вышеуказанное нулем.
@xasthor - Возьмите колесо свободного качения и рассчитайте угловой момент точки на ободе. Поместите систему координат в точку контакта и обведите точку вокруг. Теперь найдите, сохраняется ли угловой момент относительно этой точки. Это не. Но чистый крутящий момент относительно точки всегда равен нулю.
@xasthor Привет. Извините, что беспокою вас, но я не понимаю, как уравнение 3.11.3 в ссылке, которую вы разместили, верно.
Этот пост показывает, что неправильная концепция приводит к неправильному выводу. В ньютоновской механике соотношение $\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}$ справедливо для всех инерциальных систем отсчета. Вывод здесь нарушает этот эквивалентный принцип ньютоновской механики.
Неправильные концепции заключаются в том, что (1) автор считает, что связь между угловым моментом и крутящим моментом действительна только в системе координат COM; (2) автор считает, что импульс твердого тела всегда равен импульсу, измеренному в точке ЦМ, что неверно, вопреки основному определению импульса.
Подробное объяснение см. в ответе, который я публикую ниже.
@ytlu Страницы 9-10 этой лекции устанавливают уравнение (1) выше. Договоритесь о связи между и . импульс и крутящий момент в центре масс твердого тела и в начале инерциальной системы отсчета?
@JohnAlexiou На страницах 9 и 10 сделан вывод о том, что скорость изменения углового момента равна крутящему моменту как для исходной точки O, так и для исходной точки C. Я не понимаю вас.
Я согласен с этим пунктом, поскольку оба пункта сделали бы мой дополнительный член равным нулю. У меня есть более подробное изложение моего аргумента о том, почему мое уравнение верно, включая пример , который дает правильный результат с моим уравнением и неверный результат с вашим уравнением. Все в контексте одного твердого тела в движении с точки зрения одного инерциального наблюдателя.
@ytlu — тот же документ , что и в комментарии выше, но опубликованный в формате HTML, а не в формате PDF.
@JohnAlexiou Это то же самое. Нет ничего, что могло бы сделать ваше высказывание правильным. Период. Неправильное не может быть правильным.
@ytlu - вы видели в конце пример? С «лишними» членами это дает неправильное решение. После тщательного повторного изучения всего, я остаюсь при своих постах. Помните, я говорю об одной системе отсчета, наблюдающей несколько точек, а в приведенных вами примерах вы говорите о двух системах отсчета. Я говорю об одном кадре.
@JohnAlexiou «говорит об одной системе отсчета, наблюдающей за несколькими точками», эта глупая поговорка. Точка наблюдения представляет собой систему координат. Кроме того, нет точек наблюдения. Это очень базовая концепция физики.
@ytlu - В физике положение наблюдателя - это система координат. Там, куда смотрит наблюдатель, находится точка наблюдения. Система координат определяет базисные векторы и начало координат, где измеряются расстояния до точек наблюдения . Это фундаментально для физики. В моем сценарии. Я стою на земле, держа в руках длинную палку, указывающую на разные точки в пространстве. Я смотрю на центр масс C или любую другую произвольную точку A , наблюдая за тем, что происходит в этом месте.
@JohnAlexiou Когда ты пишешь $\mathbf{L}_A$ , это означает, что угловой момент измеряется в системе отсчета A (даже если это точка без прикрепленного к ней креста). Это без двусмысленности. Определение представляет собой меру вектора положения из A $\times$ мера скорости от А.
@JohnAlexiou Я даже не знаю, как назвать вашу величину: вектор положения, измеренный от A $\times$ мера скорости от O. Это может быть что угодно, но не $\mathbf{L}_A$ .
@итлу - $\boldsymbol{L}_A$ - угловой момент, если тело вращалось вокруг A , он точно определяется как $л_{А} "=" \sum_{я} р_{я} \times м_{я} в_{я}$ $\boldsymbol{L}_A = \sum_i \boldsymbol{r}_i \times m_i \boldsymbol{v}_i$ где $\boldsymbol{r}_i$ - положение частицы относительно точки A . Это связано с угловым моментом относительно центра масс $\boldsymbol{L}_C$ с отношениями, которые вы оспариваете $л_{А} "=" л_{С} + р_{А С} \times п$ $\boldsymbol{L}_A = \boldsymbol{L}_C + \boldsymbol{r}_{AC} \times \boldsymbol{p}$ Это также встречается в литературе, например, уравнение 19.5.19 здесь .
Ваша ошибка не в позиции, а в скорости. Твой $v_i$ НЕ скорость, измеренная от A. Следовательно, ваш $L_A$ не угловой момент, измеренный от A.
В моем комментарии выше я сделал упрощение, которое сбивает с толку. Определение $L_A$ основан на $r_i$ расположение частицы относительно наблюдателя, и $v_i$ скорость частицы (с точки зрения наблюдателя) следующая $л_{А} "=" \sum_{я} (р_{я} - р_{А}) \times м_{я} в_{я}$ $\boldsymbol{L}_A = \sum_i (\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_A) \times m_i \boldsymbol{v}_i$ и теперь скорость явно просто $\boldsymbol{v}_i = \frac{\rm d}{{\rm d}t} \boldsymbol{r}_i$

итлу · Answer 2

Это не ответ. Я публикую, чтобы прояснить ошибки в ответе Джона.

Теперь давайте сосредоточимся на вашем ответе выше. Я четко показываю ваши ошибки.

уравнение (3) в этом посте:

Уравнение (3) в сообщении Джона.

Где вы определили $\mathbf{c}$ as : Рассмотрим вектор местоположения c центра масс относительно A . Точка А имеет скорость $\mathbf{v}_A$ ссылаясь на происхождение О. И $\mathbf{p} = m \mathbf{v}_C$ - скорость центра масс, измеренная в системе О.

С этими определениями ваше уравнение (3) НЕ верно. Так как А движется со скоростью $\mathbf{v}_A$ , поэтому в системе A полный импульс твердого тела равен $m (\mathbf{v}_C - \mathbf{v}_A)$ . Эта ошибка привела вас к неправильному выводу в уравнении (5) и уравнении. (6).

С $\mathbf{v}_C$ и $\mathbf{p}$ измеряется в кадре O и $\mathbf{c}$ измеряется в кадре A. Уравнение. (3) следует записать как:

л_{А} "=" л_{С} + с \times м (в_{С} - в_{А})

$\mathbf{L}_A = \mathbf{L}_C + \mathbf{c} \times m\left(\mathbf{v}_C - \mathbf{v}_A \right)$

Со всеми величинами, измеренными в кадре A. Это скорректирует ваши результаты в уравнении (5) и уравнении (6). $\frac{d\mathbf{L}_A}{dt} = \mathbf{\tau}_A$ .

Следуя за Джоном, я меняю несколько обозначений:

C : центр масс рамы
$\vec{R}$ : положение центра масс относительно кадра A ( $\vec{c}$ Джона.)
кадр A : другой инерциальный кадр, который имеет относительную постоянную скорость относительно C-фрейма.
$\vec{v}_A$ : скорость точки, измеренная в кадре A.
$\vec{v}_C$ : скорость точки, измеренная в системе координат C.
$\vec{r}_A$ : положение точки измерения в кадре A.
$\vec{r}_C$ : положение точки измерения в кадре C.

Соотношение позиций:

\begin{matrix} (1) & {\vec{р}}_{А} "=" \vec{р} + {\vec{р}}_{С} . \end{matrix}

$\tag{1} \vec{r}_A = \vec{R} + \vec{r}_C.$

Вывод уравнения (1) приводит к соотношению скорости:

\begin{matrix} (2) & {\vec{в}}_{А} "=" \vec{В} + {\vec{в}}_{С} . \end{matrix}

$\tag{2} \vec{v}_A = \vec{V} + \vec{v}_C.$ где

\vec{V}

$\vec{V}$ - скорость COM в системе отсчета A. Она должна быть постоянной, чтобы обе системы отсчета были инерционными.

Определение угловых моментов:

{\vec{л}}_{А} "=" м {\vec{р}}_{А} \times {\vec{в}}_{А} {\vec{л}}_{С} "=" м {\vec{р}}_{С} \times {\vec{в}}_{С}

$\vec{L}_A = m \vec{r}_A \times \vec{v}_A\\ \vec{L}_C = m \vec{r}_C \times \vec{v}_C\\$

Их соотношение можно найти из уравнения (1) и уравнения (2):

{\vec{л}}_{А} "=" м (\vec{р} + {\vec{р}}_{С}) \times (\vec{В} + {\vec{в}}_{С}) "=" м (\vec{р} + {\vec{р}}_{С}) \times \vec{В} + м \vec{р} \times {\vec{в}}_{С} + м {\vec{р}}_{С} \times {\vec{в}}_{С} "=" {{\vec{л}}_{С} + м \vec{р} \times {\vec{в}}_{С}} + м (\vec{р} + {\vec{р}}_{С}) \times \vec{В} "=" {срок Джона} + {пропущенный срок.}

$\vec{L}_A = m \left(\vec{R} + \vec{r}_C \right) \times \left( \vec{V} + \vec{v}_C \right)\\ = m \left(\vec{R} + \vec{r}_C \right) \times \vec{V} + m \vec{R} \times \vec{v}_C + m \vec{r}_C \times \vec{v}_C\\ = \left\{ \vec{L}_C + m \vec{R} \times \vec{v}_C \right\} + m \left(\vec{R} + \vec{r}_C \right) \times \vec{V}\\ = \{ \text{John's term} \} + \{ \text{missed term.} \}$

Термин внутри скобки карри показан в уравнении Джона. Последний член отсутствует в его соотношении углового момента. Да действительно $m \vec{r}_A \times \vec{V}$ , дополнительный угловой импульс частицы в системе отсчета A из-за относительного движения между системой отсчета A и C.

Неправильное соотношение в угловом моменте приводит к его неправильному заключению. Его заключение представляет собой очень серьезное обвинение против принципа эквивалентности всех инерциальных систем отсчета — очень важного базового понятия ньютоновской механики .

\frac{г {\vec{л}}_{А}}{г т} "=" м \frac{г {\vec{р}}_{А}}{г т} \times {\vec{в}}_{А} + м {\vec{р}}_{А} \times \frac{г {\vec{в}}_{А}}{г т} "=" 0 + м {\vec{р}}_{А} \times \frac{г {\vec{в}}_{А}}{г т} "=" м {\vec{р}}_{А} \times \frac{г}{г т} (\vec{В} + {\vec{в}}_{С}) "=" {\vec{р}}_{А} \times \frac{г (м {\vec{в}}_{С})}{г т} "=" {\vec{р}}_{А} \times \vec{Ф} "=" {\vec{т}}_{А} .

$\frac{d\vec{L}_A}{dt} = m \frac{d\vec{r}_A}{dt} \times \vec{v}_A + m \vec{r}_A \times \frac{d\vec{v}_A}{dt}\\ = 0 + m \vec{r}_A \times \frac{d\vec{v}_A}{dt}\\ = m \vec{r}_A \times \frac{d}{dt} ( \vec{V} + \vec{v}_C )\\ = \vec{r}_A \times \frac{d ( m \vec{v}_C ) }{dt}\\ = \vec{r}_A \times \vec{F} = \vec{\tau}_A.$

Пока относительное движение имеет постоянную скорость $\frac{d\vec{V}}{dt} = 0$ , скорость изменения углового момента равна крутящему моменту.

Описать движение многих тел в некоторой инерциальной системе отсчета:

{\vec{л}}_{т о т а л} "=" \sum_{я} м_{я} {\vec{р}}_{я} \times {\vec{в}}_{я}

$\vec{L}_{total} = \sum_i m_i \vec{r}_i \times \vec{v}_i\\$

И изменение курса:

\frac{г {\vec{л}}_{т о т а л}}{г т} "=" \sum_{я} м_{я} \frac{г {\vec{р}}_{я}}{г т} \times {\vec{в}}_{я} + \sum_{я} {\vec{р}}_{я} \times \frac{г {\vec{п}}_{я}}{г т} "=" \sum_{я} м_{я} 0 + \sum_{я} {\vec{р}}_{я} \times {\vec{Ф}}_{я} "=" \sum_{я} {\vec{т}}_{я} "=" {\vec{т}}_{т о т а л}

$\frac{d\vec{L}_{total}}{dt} = \sum_i m_i \frac{d\vec{r}_i}{dt} \times \vec{v}_i + \sum_i \vec{r}_i \times \frac{d \vec{p}_i}{dt}\\ = \sum_i m_i 0 + \sum_i \vec{r}_i \times \vec{F}_i\\ = \sum_i \vec{\tau}_i = \vec{\tau}_{total}$

Если вы попытаетесь доказать, что вдали от центра масс системы координат:

\frac{г {\vec{р}}_{я}}{г т} \times {\vec{в}}_{я} \neq 0.

$\frac{d\vec{r}_i}{dt} \times \vec{v}_i \ne 0.$

Вы должны сделать намного лучше, чем говорить взмахом руки.

Я проиллюстрирую на простом примере гантель из двух точек с точечной массой ( $2kg$ ) разделены безмассовой проволокой (2м). Его центр масс движется со скоростью $\vec{V} = 4 m/s \vec{x} + 3 m/s \vec{y}$ . В системе центра масс С они вращаются вокруг центра с частотой $\nu = 1/s$ .

Опишите движение этих двух масс в центре масс (система C). $\vec{r}_{Ci} = (x_i', y_i')$ для $i = 1, 2$ :

\begin{matrix} {Икс}_{1}^{'} "=" потому что (2 π т); & у_{1}^{'} "=" грех (2 π т) \\ {Икс}_{2}^{'} "=" - потому что (2 π т); & у_{2}^{'} "=" - грех (2 π т) \\ Скорость: \\ в_{1 Икс}^{'} "=" - 2 π грех (2 π т); & в_{1 у}^{'} "=" 2 π потому что (2 π т) \\ в_{2 Икс}^{'} "=" 2 π грех (2 π т); & в_{2 у}^{'} "=" - 2 π потому что (2 π т) \end{matrix}

$\begin{matrix} x_1' = \cos(2\pi t); & y_1'= \sin(2\pi t) \\ x_2' = -\cos(2\pi t); & y_2'= -\sin(2\pi t) \\ \text{Velocity:} & \\ v_{1x}' = -2\pi \sin(2\pi t); & v_{1y}'= 2\pi\cos(2\pi t) \\ v_{2x}' = 2\pi\sin(2\pi t); & v_{2y}'= -2\pi\cos(2\pi t) \\ \end{matrix}$

Угловой момент в C $L_c = (0, 0, L_z') = (0, 0, L_{1z}'+L_{2z}')$ :

л_{1 г}^{'} "=" 2 {Икс}_{1}^{'} в_{1 у}^{'} - 2 у_{1}^{'} в_{1 Икс}^{'} "=" потому что (2 π т) 4 π потому что (2 π т) - грех (2 π т) {- 4 π грех (2 π т)} "=" 4 π . л_{2 г}^{'} "=" 4 π, сходным образом

$L_{1z}' =2 x_1' v_{1y}' -2 y_1' v_{1x}' = \cos(2\pi t) 4\pi\cos(2\pi t) - \sin(2\pi t) \{-4\pi \sin(2\pi t)\} = 4\pi.\\ L_{2z}' = 4\pi, \text{ similarly}\\$ Полный угловой момент в кадрах C равен

8 π

$8\pi$ , постоянная во времени.

Теперь изучите угловой момент, наблюдаемый в кадре А. $\vec{r}_{iA} = (x_i, y_i)$ , и положение CM в кадре A $\vec{R} = (4 t, 3 t)$ :

\begin{matrix} {Икс}_{1} "=" 4 т + потому что (2 π т); & у_{1} "=" 3 т + грех (2 π т) \\ {Икс}_{2} "=" 4 т - потому что (2 π т); & у_{2} "=" 3 т - грех (2 π т) \\ Скорость: \\ в_{1 Икс} "=" 4 - 2 π грех (2 π т); & в_{1 у} "=" 3 + 2 π потому что (2 π т) \\ в_{2 Икс} "=" 4 + 2 π грех (2 π т); & в_{2 у} "=" 3 - 2 π потому что (2 π т) \end{matrix}

$\begin{matrix} x_1 = 4 t + \cos(2\pi t); & y_1 = 3 t + \sin(2\pi t) \\ x_2 = 4 t -\cos(2\pi t); & y_2 = 3 t - \sin(2\pi t) \\ \text{Velocity:} & \\ v_{1x} = 4 - 2\pi \sin(2\pi t); & v_{1y}=3 + 2\pi\cos(2\pi t) \\ v_{2x} = 4 + 2\pi\sin(2\pi t); & v_{2y}= 3- 2\pi\cos(2\pi t) \\ \end{matrix}$

Теперь проверьте угловой момент в кадре A:

\begin{matrix} л_{1 г} "=" 2 {4 т + потому что (2 π т)} {3 + 2 π потому что (2 π т)} - 2 {3 т + грех (2 π т)} {4 - 2 π грех (2 π т)} \\ "=" 4 π + 6 потому что (2 π т) + 16 т π потому что (2 π т) - 8 грех (2 π т) + 12 т π грех (2 π т) . \\ л_{2 г} "=" 2 {4 т - потому что (2 π т)} {3 - 2 π потому что (2 π т)} - 2 {3 т - грех (2 π т)} {4 + 2 π грех (2 π т)} \\ "=" 4 π - 6 потому что (2 π т) - 16 т π потому что (2 π т) + 8 грех (2 π т) - 12 т π грех (2 π т) . \end{matrix}

$\begin{matrix} L_{1z} = 2 \{ 4 t + \cos(2\pi t) \} \{3 + 2\pi\cos(2\pi t)\} - 2 \{3 t + \sin(2\pi t)\} \{4 - 2\pi \sin(2\pi t)\} \\ =4\pi + 6 \cos(2\pi t) + 16 t \pi\cos(2\pi t) - 8\sin(2\pi t) + 12 t\pi \sin(2\pi t).\\ L_{2z} = 2\{ 4 t - \cos(2\pi t) \} \{3 - 2\pi\cos(2\pi t)\} -2\{3 t - \sin(2\pi t)\} \{4 + 2\pi \sin(2\pi t)\} \\ =4\pi - 6 \cos(2\pi t) - 16 t \pi\cos(2\pi t) + 8 \sin(2\pi t) - 12 t\pi \sin(2\pi t).\\ \end{matrix}$

Наконец, результирующий угловой момент в кадре A:

л_{А г} "=" л_{1 г} + л_{2 г} "=" 8 π .

$L_{Az} = L_{1z} + L_{2z} = 8 \pi.$

Это также константа во времени, даже если кадр А имеет относительное движение с кадром С.

Проверьте личность Джона для массы 1:

\vec{р} \times м {\vec{в}}_{1}^{'} "=" \hat{г} {16 т π потому что (2 π т) + 12 т π грех (2 π т)} л_{1 г}^{'} + [\vec{р} \times м {\vec{в}}_{1}^{'}]_{г} "=" 4 π + 16 т π потому что (2 π т) + 12 т π грех (2 π т) \neq л_{1 г}

$\vec{R} \times m\vec{v}_1' = \hat{z} \{ 16 t\pi\cos(2\pi t) + 12 t\pi \sin(2\pi t)\}\\ L_{1z}' + [\vec{R} \times m\vec{v}_1']_z = 4\pi + 16 t\pi\cos(2\pi t) + 12 t\pi \sin(2\pi t) \ne L_{1z}$

Спасибо за подробное объяснение. Сейчас я просматриваю и вижу некоторые тонкие различия в интерпретации. Например $\vec{v}_C$ и $\vec{v}_A$ ибо это скорость твердого тела любой частицы, находящейся в точках C и A соответственно, обе измеряются в одной и той же инерциальной системе отсчета (мировой системе отсчета).
Где я показываю только для одной частицы. Описание множества частиц добавит сумму по всем частицам. Каждый из них имеет аналогичную форму в отношении импульса между двумя системами отсчета.
Я добавил простой пример, продолжая свой пост. Все количество можно проверить в простой модели.
Не могли бы вы просмотреть этот пост и посмотреть, согласны ли вы, это основа, на которой я строю свое опровержение. Аргумент с точки зрения суммирования частиц. Также этот аналогичный пост также входит в законы Ньютона.
В первом посте я не могу найти темы, связанные с вашим соотношением углового момента, которое было неправильным.
Также во втором посте не приведено вывода соотношения $L_a -= L_c + c \times p$ . Можете ли вы сделать свой аргумент прямым, указав причину, по которой это уравнение справедливо?
Как прокомментировано в другом месте, прочитайте эту публикацию , которая подробно описывает, почему приведенные выше и мои уравнения все еще действительны. Я думаю, что наши разногласия заключаются в интерпретации того, что именно означает каждый термин, и именно поэтому я включил в эту статью много подробностей.
Я добавил свой комментарий к одному из ваших предыдущих постов в начале этого поста. В вашем сообщении явно была аналогичная ошибка в преобразовании углового момента. Вы не придерживались четкой системы обозначений и смешали в уравнении физические величины разных систем отсчета без должной корректировки.
В публикации, на которую вы ссылаетесь, уравнение (3) и уравнение (4) $\omega$ должно быть другим. $\omega$ в уравнении (3) – угловая скорость твердого тела, вращающегося вокруг центра масс, а в уравнении (4) – угловая скорость $\omega$ это вращение COM вокруг точки A. Они не являются общими и одинаковыми. $\omega$ . и снова в уравнении (9) появилась та же самая ошибка. Угловой момент в A равен $L_A = \sum_i m_i (r_i - r_a) \times (v_i - v_a)$ . Это ваша внутренняя ошибка.

Джон Дарби · Answer 3

Если тело находится в свободном движении, используя центр масс (ЦМ) в качестве точки отсчета, сумма крутящих моментов от реальных сил равна изменению углового момента, даже если ЦМ ускоряется. Если тело вынуждено вращаться вокруг точки, отличной от ЦМ, и эта точка ускоряется, то необходимо учитывать фиктивные силы/моменты, используя эту точку в качестве точки отсчета. Это довольно подробно обсуждается в тексте «Механика» Саймона.

Можно ли ускорить опорную точку в инерциальной системе отсчета при применении уравнения крутящего момента?

ксастор

ксастор

Ответы (3)

Джон Алексиу

ксастор

Джон Алексиу

Джон Алексиу

Джон Алексиу

ксастор

Джон Алексиу

ксастор

Джон Алексиу

Джон Алексиу

ксастор

Джон Алексиу

Джон Алексиу

Лео Лю

итлу

итлу

итлу

Джон Алексиу

итлу

Джон Алексиу

Джон Алексиу

итлу

Джон Алексиу

итлу

Джон Алексиу

итлу

итлу

Джон Алексиу

итлу

Джон Алексиу

итлу

Джон Алексиу

итлу

итлу

Джон Алексиу

итлу

итлу

Джон Алексиу

итлу

итлу

Джон Дарби