Различные результаты для крутящего момента в инерциальной и неинерциальной системах отсчета.

Question

Различные результаты для крутящего момента в инерциальной и неинерциальной системах отсчета.

Убальдо Този

У меня правая система координат с началом O. На плоскости yz лежит пластина треугольной формы со сторонами, лежащими на осях, обе длины a. Пластина вращается вокруг оси z (вертикальной относительно земли) с угловой скоростью ω. Я хочу найти внешний крутящий момент по отношению к O, необходимый для поддержания постоянной угловой скорости.

Я пытался решить задачу как применительно к инерциальной системе отсчета, так и применительно к неинерциальной.

Инерциальная система отсчета

Поскольку выбран полюс O, все силы реакции, которые стержень прикладывает к пластине, не имеют крутящего момента. Единственная другая сила, действующая на пластину, — это ее вес.

\vec{Вт} "=" - м г \hat{г}

$\vec{W} = -mg\hat{z}$

Тогда полный крутящий момент на пластине равен

\vec{М_{О}} "=" \vec{М_{е Икс т}} - \frac{м г а}{3} \hat{Икс}

$\vec{M_O} = \vec{M_{ext}} - \frac{mga}{3}\hat{x}$

так как центр масс пластины находится в (0, a/3, a/3).

Из уравнения Эйлера при условии, что угловая скорость постоянна, имеем

\vec{М_{О}} "=" \vec{ю} \land я \vec{ю}

$\vec{M_O} = \vec{\omega} \wedge I\vec{\omega}$

Поскольку ω имеет только компонент z, я только что вычислил последний столбец тензора инерции I. Я нашел:

я "=" [\begin{matrix} 0 \\ - \frac{м а^{2}}{3} \\ \frac{м а^{2}}{12} \end{matrix}]

$I = \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{ma^2}{3} \\ \frac{ma^2}{12} \end{bmatrix}$

Теперь у меня есть уравнение:

\frac{м ю^{2} а^{2}}{12} \hat{Икс} "=" \vec{М_{е Икс т}} - \frac{м г а}{3} \hat{Икс}

$\frac{m\omega^2a^2}{12}\hat{x} = \vec{M_{ext}} - \frac{mga}{3}\hat{x}$

И поэтому:

\vec{М_{е Икс т}} "=" \frac{м ю^{2} а^{2}}{12} \hat{Икс} + \frac{м г а}{3} \hat{Икс}

$\vec{M_{ext}} = \frac{m\omega^2a^2}{12}\hat{x} + \frac{mga}{3}\hat{x}$

Неинерциальная система отсчета

Первым шагом, который я сделал, было вычисление псевдосилы, действующей на центр масс.

Ф_{а п п} "=" \frac{м ю^{2} а}{3} \hat{у}

$F_{app} = \frac{m\omega^2a}{3}\hat{y}$

В этой системе отсчета пластина статична, поэтому должно применяться второе кардинальное уравнение статики:

\vec{М_{е Икс т}} - \frac{м г а}{3} \hat{Икс} - \frac{м ю^{2} а^{2}}{9} \hat{Икс} "=" 0

$\vec{M_{ext}} - \frac{mga}{3}\hat{x} - \frac{m\omega^2a^2}{9}\hat{x} = 0$

Итак, я нахожу:

\vec{М_{е Икс т}} "=" \frac{м г а}{3} \hat{Икс} + \frac{м ю^{2} а^{2}}{9} \hat{Икс}

$\vec{M_{ext}} = \frac{mga}{3}\hat{x} + \frac{m\omega^2a^2}{9}\hat{x}$

Как видите, эти два решения похожи, но не равны. Не могли бы вы объяснить мне, почему?

ДжейАлекс

Теперь я понимаю, вы спрашиваете о опорных моментах на шарнире.

Ответы (2)

Различные результаты для крутящего момента в инерциальной и неинерциальной системах отсчета.

Теперь я понимаю, вы спрашиваете о опорных моментах на шарнире.

ДжейАлекс · Answer 1

Я думаю, это ситуация

{\vec{М}}_{О} "=" {\vec{М}}_{е Икс т} + \vec{с} \times \vec{Вт} "=" {\vec{М}}_{е Икс т} + (\begin{matrix} - \frac{а}{3} м г \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

$\vec{M}_O = \vec{M}_{\rm ext} + \vec{c} \times \vec{W} = \vec{M}_{\rm ext} + \pmatrix{ -\tfrac{a}{3} m g\\ 0 \\ 0}$

Здесь $\vec{c} = \pmatrix{0 \\ \tfrac{a}{3} \\ \tfrac{a}{3} }$ - центр масс относительно O , и $\vec{W} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ -m g}$ вес, действующий через центр масс.

Массовый момент тензора инерции относительно O равен

я_{О} "=" [\begin{matrix} \frac{м}{3} а^{2} \\ \frac{м}{6} а^{2} & - \frac{м}{12} а^{2} \\ - \frac{м}{12} а^{2} & \frac{м}{6} а^{2} \end{matrix}]

$\mathbf{I}_O = \begin{bmatrix} \tfrac{m}{3} a^2 & & \\ & \tfrac{m}{6} a^2 & -\tfrac{m}{12} a^2 \\ & -\tfrac{m}{12} a^2 & \tfrac{m}{6} a^2 \end{bmatrix}$

Наконец, скорость вращения

\vec{ю} "=" (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \dot{θ} \end{matrix})

$\vec{\omega} = \pmatrix{ 0 \\ 0 \\ \dot{\theta} }$

Таким образом, баланс крутящего момента равен

{\vec{М}}_{О} "=" {\vec{М}}_{е Икс т} + \vec{с} \times \vec{Вт} "=" \vec{ю} \times я_{О} \vec{ю}

$\vec{M}_O = \vec{M}_{\rm ext} + \vec{c} \times \vec{W} = \vec{\omega} \times \mathbf{I}_O \vec{\omega}$

или

{\vec{М}}_{е Икс т} "=" (\begin{matrix} \frac{а}{3} м г + \frac{а^{2}}{12} м {\dot{θ}}^{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

$\vec{M}_{\rm ext} = \pmatrix{ \tfrac{a}{3} m g + \tfrac{a^2}{12} m \dot{\theta}^2 \\ 0 \\ 0 }$

Что соответствует вашему первому результату. Следовательно, ошибка во втором методе. Я подозреваю, что крутящий момент = изменение углового момента недействителен для неинерциальных фреймов. На самом деле я ничего не вижу об изменении углового момента во второй части. Несмотря на то, что они находились в телецентрической системе координат, поскольку $\vec{\omega}$ не вдоль главной оси инерции, результирующий угловой момент со временем изменит направление.

В неинерциальной системе отсчета скорости точек пластины равны нулю, поэтому угловой момент постоянен, поскольку он всегда равен нулю (из его определения). Это угловой момент в инерциальной системе отсчета, чтобы измениться. Наконец, доказательство того, что изменение углового момента = внешний крутящий момент - скорость полюса x импульс центра масс, не зависит от системы отсчета. В любом случае спасибо за подтверждение моего первого результата.
@UbaldoTosi - подождите, вы только что подтвердили выражение, которое я использовал в другом месте $\frac{г}{г т} л_{А} "=" т_{А} + в_{А} \times п$ $\frac{\rm d}{{\rm d}t} L_A = \tau_A + v_A \times p$ отношение крутящего момента к изменению углового момента на нефиксированных системах отсчета. У вас есть ссылка на это, так как я получил его самостоятельно и хотел внешнего подтверждения.
Мой профессор механики вывел его в классе.

Убальдо Този · Answer 2

Я нашел решение. Я оставляю ответ здесь, чтобы любой, кто хочет знать, что не работает, мог прочитать это.

Каждая часть пластины подвергается кажущейся силе, которая приложена НЕ к центру масс, а к самой части. Если бы эта сила была одинаковой для всех частей с одинаковой массой, то мы могли бы считать ее приложенной к центру масс при расчете ее крутящего момента. Однако в этом случае сила зависит от положения куска.

Тогда крутящий момент, вызванный кажущимися силами (назовем его кажущимся крутящим моментом), равен

т_{А п п} "=" \sum р_{я} \times Ф_{я}

$\tau_{App} = \sum{r_i\times F_i}$

где

Ф_{я} "=" м_{я} ю^{2} у_{я}

$F_i = m_i\omega^2y_i$

Переходя от дискретного к непрерывному, имеем

\int_{п л а т е} о ю^{2} у г г у г г

$\int_{Plate} \sigma\omega^2yzdydz$

Вы можете сразу увидеть, что это единственная компонента тензора инерции (в инерциальной системе отсчета), которая выдерживает уравнение Эйлера, поэтому теперь мы имеем один и тот же результат с обоими методами.

Различные результаты для крутящего момента в инерциальной и неинерциальной системах отсчета.

Убальдо Този

ДжейАлекс

Ответы (2)

ДжейАлекс

Убальдо Този

ДжейАлекс

Убальдо Този

Убальдо Този

Можно ли ускорить опорную точку в инерциальной системе отсчета при применении уравнения крутящего момента?

Кто сказал нам, как измерить крутящий момент?

Инерция на вращающемся диске?

Вращающийся стержень в виде конического маятника

Производная углового момента во вращающейся системе отсчета

Чистый крутящий момент на объекте, когда все силы проходят через общую точку

Почему существует Torque?

Помогите понять крутящий момент? [дубликат]

В чем разница, когда мы измеряем крутящий момент/угловой момент относительно точки и относительно оси?

Как выбрать начало координат во вращательных задачах для расчета крутящего момента?