Почему аналогия между электромагнетизмом и общей теорией относительности отличается, если рассматривать их как калибровочные теории или расслоения?

Здесь задействована дополнительная структура. В зависимости от того, на каком уровне вы смотрите, это либо тот факт, что касательное соединение$\nabla$допускает обмен аргументами (если$\nabla_XY$хорошо определено, то так$\nabla_YX$), или что есть форма для пайки$\theta$на основной связке рамок для ГР, а для ЭМ такой формы пайки нет.

Во всяком случае, оба эти утверждения означают, что существует различие между калибровочными симметриями.

• Для локальных симметрий Лоренца отличие состоит в том, что локальная симметрия Лоренца является «внешней» симметрией, тогда как$U(1)$симметрия является внутренней. Мы можем преобразовать «внешнюю» симметрию во внутреннюю именно с помощью вильбейнов:$A^a=A^\mu\theta^a_\mu$. Но тогда нам нужно найти динамику для vielbein$\theta^a_\mu$также. Этот фильбейн как раз и является местным проявлением упомянутой выше формы пайки.

• Для симметрий диффеоморфизма это совершенно другое. Локальная симметрия Лоренца и$U(1)$обе симметрии локализуемы. Вы можете сделать преобразование LL или$U(1)$трансформация в точку . Вы не можете сделать diffeo в точке . Честно говоря, я не эксперт в этом, мне всегда не нравилось, когда люди говорили, что ОТО — это калибровочная теория с$\text{Diff}(M)$является калибровочной группой. Конечно, вы можете смотреть на это так, но это создаст непримиримую разницу с$U(1)/SU(2)/SU(3)$калибровочные теории стандартной модели.

Единственный несколько унифицированный язык - это когда вы считаете калибровочную группу группой Лоренца. Более того, существование спинорных полей, по-видимому, также предпочитает интерпретацию группы Лоренца.

Если вам нужен какой-то глубокий ответ, я не могу вам его дать. Эта калибровочная аналогия нарушается именно потому, что симметрия Лоренца является внешней пространственно-временной симметрией .

Внутренняя симметрия с калибровочной группой$G$даст вам связь$D$действующее на сечения ассоциированных векторных расслоений (связанных с главным$G$-bundle, где живет соединение).

Тот факт, что это$G$- связь, а не$GL(k,\mathbb{C})$-связь заключается в том, что форма лагранжиана для поля материи обычно будет включать метрику слоя (для скалярной КЭД это «внутренний продукт»$q(\phi,\phi)=\phi^\dagger\phi$), обычно эрмитова метрика, которая, поскольку мы хотим, чтобы связь была совместима с метрикой, приводит к$GL(k,\mathbb{C})$сводимы к некоторой унитарной группе.

Затем мы задаем лагранжиан и для связности, потому что это должно быть динамическое поле (для унитарных связностей это лагранжиан Янга-Миллса), и тогда у нас есть классическая калибровочная теория.

Для гравитации нам сначала понадобится вильбейн, чтобы сделать внешнюю симметрию внутренней. Vielbein должен иметь динамику, иначе как бы вы его определили? Но давайте пока проигнорируем это. Теперь у нас есть внутренняя лоренц-симметрия с метрикой слоя$\eta$, поэтому у нас есть$\eta$-совместимое соединение.

Нам нужно указать динамику обоих$\theta^a_\mu$а также$\omega^{\ a}_{\mu\ \ b}$. Метрическая совместимость и отсутствие кручения обеспечивают это$\omega$должен быть нединамическим, поэтому нам нужно состряпать лагранжиан для$\theta$. Но неустойчивость Остроградского заставляет искать уравнения поля второго порядка, поэтому кривизна (выражение второго порядка) не может быть динамической переменной$^*$(в отличие от Янга-Миллса, где неустойчивость Остроградского этому не помешает, так как там кривизна первого порядка).

Даже если вы не пытаетесь обеспечить совместимость и отсутствие кручения, это ничего не изменит. Если вы навязываете отсутствие кручения, но не совместимость, то вы получаете формализм Палатини, что эквивалентно. Если вы не навязываете отсутствие кручения, вы получаете различия (теория Эйнштейна-Картана), которые чувствуют только спиноры. Даже тогда вы не можете избавиться от$\theta$как «потенциал» теории.

Вывод таков : вильбейн — необходимый динамический объект для достижения гравитации, и это разрушает аналогию.

*: Говоря, что кривизна не может быть динамической, я имею в виду, что она не может фигурировать в уравнениях поля в дифференцированной форме.

Аналогии, представленные в вопросе, я считаю ошибочными. Я согласен с Вайнбергом, как упоминалось в ответе @tparker, что аналогия проводится между символами Кристоффеля ($\Gamma^\nu_{\mu\sigma}$) и калибровочный потенциал ($A_\mu$). Эта параллель становится более ясной, если мы сравним гравитацию с неабелевыми калибровочными теориями и не будем исключать групповые индексы. В частности, сравните ковариантные производные (применительно к тензорам «ранга 1» для конкретности):

$$\begin{align} [D_\mu]^i_{\hphantom{i}j} &= \delta^i_{\hphantom{i}j} \partial_\mu - i g [A_\mu]^i_{\hphantom{i}j} \\ [\nabla_\mu]^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma} & = \delta^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma} \partial_\mu + [\Gamma_\mu]^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma}. \end{align}$$ Обратите внимание, что я изменил стандартную запись для обоих элементов. Я изменил нотацию Янга-Миллса, чтобы включить различие между индексами вверх или вниз. Я изменил ковариантную производную GR, чтобы отделить индекс, определяющий направление, в котором происходит параллельный перенос ( $\mu$) от тех, которые описывают преобразование вектора по пути ( $\nu$, $\sigma$).

Иными словами, базисные векторы векторных пространств в точке пространства-времени,$x^\mu$, связана с базисными векторами в точке$x^\mu + \operatorname{d}x^\mu$на первый заказ по:

$$\begin{align} \delta^i_{\hphantom{i}j} & + ig [A_\mu(x)]^i_{\hphantom{i}j} \operatorname{d}x^\mu \\ \delta^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma} & - [\Gamma_\mu]^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma} \operatorname{d}x^\mu. \end{align}$$ Обратите внимание, как основания трансформируются в противоположном направлении от векторов. Важно отметить, что это означает, что каждый второй член выше является бесконечно малым генератором преобразований в соответствующем пространстве симметрии, а это означает, что они в целом антиэрмитовы в своих открытых индексах. Приведенные выше ковариантные производные, очевидно, являются обобщением для перевода всей вектор-функции, а не одного вектора. Перенос на конечное расстояние требует построения структуры, называемой линией Вильсона (см. Peskin & Schoeder, стр. 495 и окружающие) в неабелевых калибровочных теориях.

Все сказанное, вот неусловные различия между обычными калибровочными теориями и гравитацией:

1. метрика в теориях Янга-Миллса постоянна,
2. групповое пространство в гравитации касается пространственно-временного многообразия,
3. степени свободы гравитации включают диффеоморфизмы пространственно-временного многообразия, а
4. лагранжиан в гравитации является линейным по кривизне, а не квадратичным.

Метрика в теориях Янга-Миллса обычно даже не обсуждается, поскольку обычно она изоморфна постоянной евклидовой метрике. Даже абелева теория Янга-Миллса, электромагнетизм, имеет метрику. Определяющее представление$U(1)$группа, например, это преобразования, сохраняющие норму комплексных чисел,$\rho^2 = z^\star z$. Запись этой нормы в терминах метрики дает вектор$z = x + iy$, а$2$-мерный вектор ($[z]^i$), а метрика отображает это в ковектор$z^\star = x - iy$($[z]_i$). Учитывая правила умножения комплексных чисел, это отображает метрику в$2$-$d$единичная матрица,$g_{ij} = \delta_{ij}$.

Дело в том, что, насколько я знаю, не изучалось, чтобы теория Янга-Миллса имела метрику, являющуюся функцией пространства-времени.

Гравитация также в некотором смысле особенная для группы, представляющей касательное к многообразию преобразование. Другими словами, важно, что групповые индексы (индексы вне квадратных скобок выше) находятся в том же пространстве, что и симметрии на многообразии, что делает их касательными к пространству таким образом, что даже группа, которая просто изоморфна этим симметрии нет. Это несколько связано с идеей о том, что гравитация связана с диффеоморфизмами самого пространственно-временного многообразия и представляет собой нечто большее, чем просто измерение$\operatorname{SL}(1,3)$группа.

Именно по этой причине мы требуем, чтобы связность была «метрически совместимой» в гравитации. Добавление условия отсутствия кручения переводит все степени свободы из соединения в метрику. Вот почему там появляется ньютоновский гравитационный потенциал.

Вследствие всего сказанного кривизна становится квадратичной по метрике, а не линейной по связности. Особое значение имеет то, что у него две производные вместо одной. Это одна из основных причин использования лагранжиана, линейного по кривизне, — существуют нерешенные теоретические трудности с теориями, имеющими более двух производных от лагранжиана; этот обзор Вударда (2007) содержит хороший обзор трудностей, связанных с$f(R)$гравитационные теории.

Я хотел бы пояснить это на примерах, но мой опыт работы с теориями Янга-Миллса более глубокий, и я еще не полностью выкристаллизовал свое мышление по этой теме и каковы последствия.

Вайнберг немного обсуждает эти аналогии в Vol. II из его серии QFT:

Аналогия нарушается в одном важном отношении: в общей теории относительности аффинная связность сама строится из первых производных метрического тензора, в то время как в калибровочных теориях калибровочные поля не выражаются через какие-либо более фундаментальные поля... [стр. 7]

поэтому он, кажется, думает о связности Кристоффеля, а не о метрике, как о калибровочном поле, как о второй аналогии. Но потом на стр. 13, он говорит, что$J_\mu$аналогичен$T_{\mu \nu}$, как и в первой аналогии.

Кажется, что, вопреки моему первому впечатлению, обе приведенные выше аналогии на самом деле просто аналогии, и ни одно из них не является особенно тесным. Теория Янга-Миллса и ОТО действительно являются качественно разными типами "калибровочных теорий", поскольку в теории Янга-Миллса калибровочно-инвариантный тензор напряженности поля$F_{\mu \nu}$формируется из первых производных фундаментальных полей, а в ОТО калибровочно-инвариантный тензор напряженности поля$R_{\mu \nu \rho \sigma}$формируется из вторых производных фундаментальных полей. Таким образом, обе приведенные выше аналогии полезны в разных контекстах, но далеки от совершенства.

Однако мы можем сделать вторую аналогию более жесткой, рассмотрев формализм Палатини ОТО, где мы рассматриваем метрику и связность как независимые поля и варьируем действие относительно каждого в отдельности. Согласно этому формализму, сама связность расслоений является фундаментальным полем, как и в теории Янга-Миллса. (Но между этими теориями все же есть большое различие, состоящее в том, что сечения расслоения явно появляются в ОТО как$g_{\mu \nu}$но не в классическом электромагнетизме.)

Редактировать: общий консенсус, по-видимому, заключается в том, что это «лучшая» аналогия, где стрелки, направленные вниз, обозначают производные, а стрелки, указывающие вправо, обозначают тензорные сокращения:

Странность этой аналогии заключается в том, что уравнения, связывающие «тензор напряженности поля» с «полем источника материи», сильно различаются в двух случаях: уравнение движения Янга-Миллса$d(*F) = J$является динамическим дифференциальным уравнением, а аналогичное уравнение общей теории относительности движения$R^\rho_{\ \, \mu \rho \nu} - \frac{1}{2} g^{\sigma \lambda} R^\rho_{\ \, \sigma \rho \lambda} g_{\mu \nu} \propto T_{\mu \nu}$просто алгебраическое отношение без производных. Я не уверен, что с этим делать.