Свободный бозонный пропагатор и нормальный порядок

давайте возьмем 2d свободный бозон CFT, как на странице 27 конспектов лекций Шеллекена : У меня есть следующие факты:

  1. Я могу расширить (голоморфную часть) поля как
    ф ( г ) "=" д ^ + я п ^ бревно ⁡ ( г ) + ∑ н ≠ 0 α н н г − н ;
  2. Неисчезающее коммутационное соотношение
    [ д ^ , п ^ ] "=" я ; [ α н , α м ] "=" н дельта м + н , 0 ;
  3. п ^ и д ^ являются эрмитовыми операторами (Шеллекенс говорит, что они действительны );
  4. Вакуум | 0 ⟩ определяется таким образом
    α н | 0 ⟩ "=" 0 "=" п ^ | 0 ⟩ ( н > 0 ) ;
  5. С [ п ^ , е к д ^ ] "=" е к д ^ Я могу определить состояния импульса
    | к ; 0 ⟩ "=" е к д ^ | 0 ⟩ ,
    следовательно, я могу считать д ^ как оператор создания. На самом деле в приведенных выше конспектах лекций он пишет

Определим нормальный порядок п и д таким образом, что п всегда находится справа от д .

СЕЙЧАС

Я хочу вычислить пропагатор, как он это делает в разделе 2.5. Если я не использую нормальный порядок, есть термин

⟨ 0 | д ^ 2 | 0 ⟩ ,

когда я расширяюсь ф ( г ) ф ( ж ) и я беру д - д часть, которую я не могу оценить; в частности

  1. Он использует обычную процедуру заказа д ^ как оператор создания, так что
    ⟨ 0 | д ^ "=" 0 ,
    и он получит нужный результат;
  2. Если это правда, то, будучи отшельником, я бы тоже д ^ | 0 ⟩ "=" 0 , но это, кажется, противоречит тому факту, что д ^ является оператором создания, как указано в пункте 5.

Я думал, что эрмитовы операторы не могут быть операторами созидания или уничтожения: опять же из-за эрмитовости я бы

0 "=" ⟨ 0 | д ^ п ^ | 0 ⟩ "=" ⟨ 0 | [ д ^ , п ^ ] | 0 ⟩ + ⟨ 0 | п ^ д ^ | 0 ⟩ "=" я + ⟨ 0 | п ^ д ^ | 0 ⟩ "=" я

Где я не прав? Как я могу вычислить пропагатор, используя обычный трюк с коммутатором (т.е. ⟨ 0 | п ^ д ^ | 0 ⟩ "=" ⟨ 0 | д ^ п ^ | 0 ⟩ + ⟨ 0 | [ п ^ , д ^ ] | 0 ⟩ )?

Ответы (1)

  1. Прежде всего обратите внимание на то, что моды генератора α ^ н ≠ 0 не имеют отношения к вопросу ОП, поэтому давайте избавимся от них для простоты. Тогда кроме тождества 1 , у нас есть только два независимых оператора д ^ и п ^ ∼ α ^ 0 , т.е. стандартная алгебра Гейзенберга с ненулевыми CCR s

    (1) [ д ^ , п ^ ]   "="   я ℏ   1 .

  2. Теперь выбор вакуумного состояния бюстгальтера ⟨ 0 | , кет вакуумное состояние | 0 ⟩ , и обычный порядок :   : не уникальны, но должны удовлетворять некоторым общим требованиям, ср. мой ответ Phys.SE здесь . Однако,

    (2) ⟨ 0 | †   "="   | 0 ⟩ ( ⟵ В общем неправильно! )
    не является требованием. Каждый набор последовательных выборов составляет так называемую картинку. Существуют биективные формулы преобразования 1 между разными картинками. Априори нет причин, по которым должна существовать только одна картинка. См. также, например, этот пост Phys.SE.

  3. Для стандартного фитиля нормального порядка :   : условия

    (3) ⟨ 0 | а ^ †     "="     0     "="     а ^ | 0 ⟩ , ⟨ 0 | 0 ⟩     "="     1 .
    является естественным выбором для выполнения общих требований. В этом случае ур. (2) выполняется. Здесь операторы создания/уничтожения определены как
    (4) а ^   ≡   1 2 ( д ^ + я п ^ ) , а ^ †   ≡   1 2 ( д ^ − я п ^ ) , [ а ^ , а ^ † ]   "="   ℏ   1 .

  4. Другой выбор п ^ д ^ -заказ :   : . Условия

    (5) ⟨ 0 | п ^     "="     0     "="     д ^ | 0 ⟩ , ⟨ 0 | 0 ⟩     "="     1 ,
    является естественным выбором для выполнения общих требований.

  5. нормальный порядок Шеллекена :   : известен как д ^ п ^ -заказ. Он выбирает это, чтобы иметь простое описание оператора п ^ ∼ α ^ 0 . Условия

    (6) ⟨ 0 | д ^     "="     0     "="     п ^ | 0 ⟩ , ⟨ 0 | 0 ⟩     "="     1 ,
    является естественным выбором для выполнения общих требований.

  6. При условиях (6) вакуумное состояние бюстгальтера ⟨ 0 | становится позиционным собственным состоянием с д "=" 0 , а кет-вакуумное состояние | 0 ⟩ становится импульсным собственным состоянием с п "=" 0 . В частности, в этом случае ур. (2) не может держать.

  7. Несложно разработать соответствующее понятие когерентных состояний в рамках д ^ п ^ -заказ. Согласованные состояния бюстгальтера

    (7) ⟨ д |   "="   ⟨ 0 | опыт ⁡ ( я д п ^ ℏ ) , ⟨ д | д ^   "=" ( 1 ) + ( 6 )   ⟨ д | д ,
    стать состояниями положения; и когерентные состояния кет
    (8) | п ⟩   "="   опыт ⁡ ( я п д ^ ℏ ) | 0 ⟩ , п ^ | п ⟩   "=" ( 1 ) + ( 6 )   п | п ⟩ ,
    становятся импульсными состояниями.

--

1 Например, можно показать, что кет-вакуумное состояние (6) в д ^ п ^ ̂ -порядок есть сжатое состояние

| п "=" 0 ⟩     ∝     опыт ⁡ ( ( а ^ † ) 2 2 ℏ ) | а "=" 0 ⟩
относительно стандартное вакуумное состояние пространства Фока (3).

Я вижу, что есть много возможностей и ограничений для создания согласованного набора {вакуума, нормальных правил упорядочения, ...}, но кажется, что в каждом случае (т.е. в каждой системе) мне приходится много бороться, поэтому 1 ) существует ли какой-либо аксиоматический набор правил, позволяющий мне решить проблему (т. е. найти правильный рецепт нормального порядка) для заданной системы? (если нет, то мне кажется, что нормальное упорядочение вообще является не очень рациональным приемом) 2) В моем конкретном случае (свободный бозон) как применяются эти аксиоматические правила? 3) Как это ⟨ 0 | определяется, если не | 0 ⟩ † ?
Спасибо за четкий ответ. Но все еще есть некоторые неясные аспекты: 1) это нормальное решение для упорядочения кажется довольно случайным в том смысле, что мы получили правильный результат, но я не вижу общего обоснования этого. Итак, учитывая теорию, существует ли процедура, которой нужно следовать, чтобы получить правильный результат? 2) Для меня до сих пор загадка почему ⟨ 0 | † ≠ | 0 ⟩ . Я не могу понять, что такое истинный физический вакуум теории. Можете ли вы уточнить это?
Большое спасибо за ссылки. До сих пор я видел только оператора смены изображения в контексте суперстроки. Можете ли вы дать мне несколько ссылок, как их разрабатывать и применять в полном объеме? Я хотел бы посмотреть, как теоретически и практически изменить изображение, чтобы применить биективную карту, о которой вы говорили. Обычно в курсах эти вещи опускают.
Я обновил ответ.
Состояние такое, что д ^ | 0 ⟩ "=" 0 не будет нарушать теорему Коулмана об отсутствии SSB в 2d?
Свободный бозонный пропагатор и нормальный порядок
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v