Почему измеримы только реальные вещи?

I) Хорошо, можно отождествить комплекснозначную наблюдаемую с нормальным оператором

$$\tag{1} A^{\dagger}A~=~AA^{\dagger}.$$

Версия$^1$спектральной теоремы утверждает , что оператор$A$ортонормированно диагонализуем тогда и только тогда, когда$A$нормальный оператор.

Таким образом, нормальные операторы являются единственным типом операторов, из которых мы можем последовательно извлекать измерения [то есть собственные состояния и (возможно, комплексные) собственные значения].

II) Но заметьте, что нормальный оператор

$$\tag{2} A~=~B+iC$$

может однозначно$^2$записать в виде суммы двух коммутирующих самосопряженных операторов

$$\tag{3} B^{\dagger}~=~B, \qquad C^{\dagger}~=~C, \qquad [B,C]~=~0.$$

($B$а также$C$являются операторным аналогом разложения комплексного числа$z=x+iy\in\mathbb{C}$в действительной и мнимой части$x,y\in\mathbb{R}$.) Обратно, два коммутирующих самосопряженных оператора$B$а также$C$можно упаковать в нормальный оператор (2). Подчеркнем, что коммутативность$B$а также$C$точно кодирует условие нормальности (1).

Поскольку самосопряженные операторы$B$а также$C$коммутируют, их можно одновременно ортонормировать диагонализовать, т. е. соответствующую пару$(B,C)$реальнозначных наблюдаемых могут быть измерены одновременно. Этот факт согласуется с принципом неопределенности Гейзенберга, примененным к операторам$B$а также$C$.

Мы заключаем, что нормальный оператор не приводит ни к чему принципиально новому, что не могло бы быть покрыто коммутирующей парой стандартных вещественнозначных наблюдаемых, т. е. самосопряженных операторов. По этой причине возможность использования нормальных операторов в качестве сложных наблюдаемых редко упоминается при обсуждении постулатов квантовой механики .

Для получения дополнительной информации о наблюдаемых с действительными значениями см., например, этот пост Phys.SE и ссылки в нем.

--

$^1$В этом ответе мы будем игнорировать тонкости с неограниченными операторами , доменами, самосопряженными расширениями и т.д.

$^2$Уникальные формулы$B=\frac{A+A^{\dagger}}{2}$а также$C=\frac{A-A^{\dagger}}{2i}$.

Как математическая структура поле комплексных чисел не допускает отношения порядка, которое является расширением того порядка, который мы имеем в$\mathbb{R}$.

Это означает, что абсолютно невозможно сказать, если$5+3i$больше или меньше, чем$5+6i$Например. Мы просто знаем, что это не равно, и мы должны остановиться здесь.

Поэтому физически очень сложно (фактически невозможно) сравнивать «наблюдаемые», имеющие в качестве собственных значений комплексные числа.

Мы уже не могли сказать, какая частица имеет большую массу, меньшую энергию и так далее.

Я считаю, что использование реального поля в качестве основного поля, в котором результаты измерения принимают значения, является просто вопросом удобства. Вы можете попытаться создать что-то вроде квантовой механики со сложными собственными значениями, но тогда вы больше не сможете подгонять эксперименты, и вы моделируете повороты с гораздо меньшей предсказуемостью.

Как бы то ни было, я читал в «Дороге к реальности » Пенроуза, что некоторые физики считали числовыми полями что-то вроде циклического поля. $\mathbb{Z}_p$с$p$простой и очень большой. Поскольку неясно, может ли это привести к новой физике, мы просто придерживаемся$\mathbb{R}$.

Вот и все, насколько я понимаю проблему.

Мнимые числа можно представить парами действительных чисел. Вы также можете создать устройство, которое смешивает результаты измерения двух вещественных чисел на аппаратном уровне для получения комплексных «амплитуды» и «фазы» в качестве результатов, которые вы в дальнейшем можете назвать измерением комплексного числа.

В более общем смысле, любое измерение в конечном итоге представляет собой считывание значений на индикаторах ваших инструментов. Это числа, следовательно, вещественные числа. Однако они также могут быть наборами (массивами) вещественных чисел, как, например, в случае с камерами. Так что, возможно, наиболее общим утверждением было бы то, что можно измерять количества, которые могут быть выражены в виде набора действительных чисел.

Поскольку комплексные числа являются достаточно абстрактным термином и не имеют физического представления, их все же можно увидеть, хотя только мнимая часть или только действительная часть какого-либо измерения не даст полной информации. Полную информацию представляет только полное комплексное число.

Теперь я сказал, что можно реально измерить мнимые и действительные значения. Хотя это и не квантовая механика, QA-модуляция является хорошим примером того, как можно реально измерить мнимую и действительную части сигнала.

По крайней мере комплексная энергия и мнимое время используются в квантовой механике. Комплексная энергия для описания нестационарных процессов. Мнимое время употребляется в книге Ландау Лифшица, том 3, задача 3 к параграфу 77. При этом употребляются такие слова: «Мнимая величина момента времени$\tau_0$соответствует классической неосуществимости процесса»

$$W=\exp\left[-2\mathrm{Im}\left(\int_{\tau}^{\tau_0}\frac{4F^2}{\Omega^2}\sin^2\Omega u\mathrm{d}u+\tau_0\right)\right]$$ Но для использования комплексных собственных значений операторов квантовой механики необходимо использовать несамосопряженные операторы, и тогда собственные значения могут оказаться комплексными. В комплексном пространстве операторы энергии и импульса являются общими операторами, несамосопряженными. $$\hat H=\sum_{k=1}^3 -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial z_k^2},z_k=\mathrm{Re}\,z_k+i \mathrm{Im}\,z_k$$ $$\hat p_r=-i\hbar(\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r})$$ Собственная функция радиальной части оператора импульса в трехмерном пространстве равна$\psi=exp(ip_r r/\hbar)/r$. Собственные значения этих операторов могут быть комплексными. При записи решения волновой функции в комплексной плоскости возникает проблема. При использовании реального пространства решение без демпфирования возможно только с реальными координатами. Точно так же в комплексной плоскости с комплексным собственным значением существует незатухающее решение на определенной фазе комплексной координаты. Нам нужно подумать о физическом смысле комплексного решения. В гидродинамике физический смысл мнимой части — стандартное отклонение. В квантовой механике, по-видимому, также. Вам нужно измерить постоянный член, описываемый реальной частью, и переменный, затухающий член, описываемый мнимой частью. Комплекс энергии и импульса описывает локализацию во времени и в пространстве соответственно энергии и импульса. Мнимая часть комплексной величины энергии определяется по времени жизни системы. Мнимая часть импульса определяется по известному комплексному значению энергии и уравнениям$E^2=p^2c^2+m^2c^4$.

Что ж, «мнимые числа» — это именно то, что нужно; мнимый. Мы сделали их, чтобы учесть квадратный корень из отрицательного числа. Точно так же мы составляли комплексные числа.

Проблема НЕ с мнимым или комплексным числом. Трудность заключается в интерпретации, которую мы ВЫБИРАЕМ использовать для мнимого или комплексного числа.

Например, в задачах с электрическими цепями переменного тока мы считаем, что умножение на -1 эквивалентно повороту на 180 градусов вектора, представляющего, скажем, напряжение. Тогда это просто небольшой скачок, чтобы предложить умножение на квадратный корень из -1 (i или j), чтобы быть эквивалентным повороту вектора на половину 180, или 90 градусов, поскольку двойное умножение на i (или j) дает нам такое же вращение дважды на 90 градусов или 180 градусов.

Таким образом, математика — это не что иное, как соглашение для описания поворота вектора на 90 градусов или комбинации двух векторов под прямым углом. Это не более загадочно, чем использование немцами заглавной буквы для ВСЕХ существительных. Это просто способ, которым они это делают.

Таким образом, РЕАЛЬНОСТЬ мнимых или комплексных чисел — это не что иное, как наше определение того, как МЫ, ЛЮДИ, интерпретируем их или их использование. Универсальной таинственной причины вообще НЕТ.

На самом деле вы можете измерять мнимые числа, измеряя отдельно действительную и мнимую части. Однако это возможно только в классической механике. В квантовой механике одновременное измерение двух частей невозможно, потому что первое измерение обязательно изменит результат второго измерения, как прекрасно объясняет Дирак в своей книге:

«Можно подумать, что можно измерить сложную динамическую переменную, измеряя отдельно ее действительную и чисто мнимую части. Но это потребует двух измерений или двух наблюдений, что было бы хорошо в классической механике, но не годилось бы в квантовой механике, где два наблюдения вообще мешают друг другу - вообще нельзя считать, что два наблюдения могут быть сделаны точно одновременно, и если они сделаны в быстрой последовательности, то первое обычно нарушит состояние системы и внесет неопределенность, которая повлияет на второй." (П.А.М. Дирак, Принципы квантовой механики, §10, стр.35)