Нахождение оптимального угла движения снаряда [закрыто]

Это поможет масштабировать задачу, определив безразмерную переменную

$$\delta=\frac{2gh}{v_0^2}.$$ Обратите внимание, что мы можем взять предел $\delta\rightarrow0$восстановить решение, когда $h=0$в этом случае мы ожидаем получить $\alpha=\tfrac{\pi}{4}$. С этой заменой ваше выражение для времени, в которое снаряд ударяется о землю, становится $$t_{y=0}=\frac{v_0}{g}\left(\sqrt{\sin^2\alpha+\delta}+\sin\alpha\right).$$ Подставляя это в выражение для $x(t)$дает $$x(t_{y=0})=\frac{v_0^2}{g}\cos\alpha\left(\sqrt{\sin^2\alpha+\delta}+\sin\alpha\right).$$ Именно это выражение мы хотим максимизировать относительно $\alpha$. Взятие первой производной дает $$\frac{d}{d\alpha}x(t_{y=0})= \frac{v_0^2}{g}\left(\cos^2\alpha\left(\frac{\sin\alpha} {\sqrt{\sin^2\alpha+\delta}}+1\right) -\sin\alpha\left(\sqrt{\sin^2\alpha+\delta}+\sin\alpha\right) \right).$$ Теперь приравняем его к нулю и найдем $\alpha$. Вначале я, честно говоря, не думал, что задача будет иметь решение в замкнутой форме, но Mathematica без труда обратила это уравнение. Окончательный результат (выбор физического результата) равен $$\alpha=\arccos\left(\frac{\sqrt{\delta+1}}{\sqrt{\delta+2}}\right)$$ Мы можем проверить это решение в обычных пределах; в $\delta=0$мы получаем $\alpha=\tfrac{\pi}{4}$и в $\delta=\infty$(платформа очень высокая) получаем $\alpha=0$оба звучат хорошо. Обратите внимание, что для $\delta<-1$решение дает мнимые результаты, которые не являются физическими. Это потому, что когда $\delta<-1$стартовая платформа находится так глубоко под землей, что начальная скорость $v_0$недостаточно даже для того, чтобы вывести его на поверхность. Имея это в виду, мы можем проверить один последний предел задачи; если $\delta=-1$, то начальной скорости как раз достаточно, чтобы снаряд $y=0$и угол запуска, который мы находим, равен $\alpha=\tfrac{\pi}{2}$который указывает пистолет прямо вверх.