Нахождение средней мощности, рассеиваемой на резисторе

Question

Нахождение средней мощности, рассеиваемой на резисторе

27 января

Ну, у меня есть последовательная схема RL , которая питается от источника напряжения. Входное напряжение определяется по формуле:

\begin{matrix} (1) & В_{в} (т) "=" 50 + \frac{400}{π} \cdot \sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{грех (200 π \cdot н \cdot т)}{н} \end{matrix}

$\text{V}_{\text{in}}\left(t\right)=50+\frac{400}{\pi}\cdot\sum_{\text{n}=1}^\infty\frac{\sin\left(200\pi\cdot\text{n}\cdot t\right)}{\text{n}}\tag1$

Номинал резистора равен $\text{R}=20\space\Omega$ а значение индуктора равно $\text{L} =25\cdot10^{-3}\space\text{H}$ .

Вопрос: Мне нужно найти среднюю мощность, которая рассеивается на резисторе.

Моя работа:

Для мощности , рассеиваемой на резисторе, по закону Ома можно записать :

\begin{matrix} (2) & п_{р} (т) "=" В_{р} (т) \cdot я_{р} (т) "=" я_{р}^{2} (т) \cdot р \end{matrix}

$\text{P}_\text{R}\left(t\right)=\text{V}_\text{R}\left(t\right)\cdot\text{I}_\text{R}\left(t\right)=\text{I}_\text{R}^2\left(t\right)\cdot\text{R}\tag2$

Где $\text{I}_\text{R}\left(t\right)$ ток через резистор и $\text{V}_\text{R}\left(t\right)$ это напряжение на резисторе.

Поскольку это последовательная цепь , входной ток, $\text{I}_\text{in}\left(t\right)$ , доставляемый источником, одинаков через резистор и катушку индуктивности, поэтому $\text{I}_\text{R}\left(t\right)=\text{I}_\text{in}\left(t\right)=\text{I}_\text{L}\left(t\right)$ . Используя закон Фарадея , мы можем найти этот входной ток:

\begin{matrix} (3) & - В_{в} (т) + я_{в} (т) \cdot р "=" - я_{в}^{'} (т) \cdot л \end{matrix}

$-\text{V}_\text{in}\left(t\right)+\text{I}_\text{in}\left(t\right)\cdot\text{R}=-\text{I}_\text{in}'\left(t\right)\cdot\text{L}\tag3$

Начальное условие равно $0$ , так что мы знаем, что $\text{I}_\text{in}\left(0\right)=0$ . Теперь нам нужно решить уравнение $(3)$ используя заданные значения.

Решение уравнения $(3)$ дает:

\begin{matrix} (4) & я_{в} (т) "=" \frac{1}{л} \cdot опыт (- \frac{р}{л} \cdot т) \cdot {\int_{1}^{т} Икс (т) г т - \int_{1}^{0} Икс (т) г т} \end{matrix}

$\text{I}_\text{in}\left(t\right)=\frac{1}{\text{L}}\cdot\exp\left(-\frac{\text{R}}{\text{L}}\cdot t\right)\cdot\left\{\int_1^t\text{X}\left(\tau\right)\space\text{d}\tau-\int_1^0\text{X}\left(\tau\right)\space\text{d}\tau\right\}\tag4$

Где $\text{X}\left(\tau\right)=\exp\left(\frac{\text{R}}{\text{L}}\cdot\tau\right)\cdot\text{V}_\text{in}\left(\tau\right)$ .

Средняя мощность, которая рассеивается на резисторе, равна:

{\bar{п}}_{р} "=" \underset{н \to \infty}{лим} \frac{1}{н} \cdot \int_{0}^{н} п_{р} (т) г т "=" \underset{н \to \infty}{лим} \frac{1}{н} \cdot \int_{0}^{н} я_{р}^{2} (т) \cdot р г т "="

$\overline{\text{P}}_\text{R}=\lim_{\text{n}\to\infty}\frac{1}{\text{n}}\cdot\int_0^\text{n}\text{P}_\text{R}\left(t\right)\space\text{d}t=\lim_{\text{n}\to\infty}\frac{1}{\text{n}}\cdot\int_0^\text{n}\text{I}_\text{R}^2\left(t\right)\cdot\text{R}\space\text{d}t=$

\begin{matrix} (5) & р \cdot {\underset{н \to \infty}{лим} \frac{1}{н} \cdot \int_{0}^{н} я_{в}^{2} (т) г т} \end{matrix}

$\text{R}\cdot\left\{\lim_{\text{n}\to\infty}\frac{1}{\text{n}}\cdot\int_0^\text{n}\text{I}_\text{in}^2\left(t\right)\space\text{d}t\right\}\tag5$

Теперь входной ток $\text{I}_\text{in}\left(t\right)$ что выражается в интеграле в конце уравнения $(5)$ можно найти, используя решение ДУ, приведенное в уравнении $(4)$ .

Вопрос: Как решить интеграл, данный в уравнении $(5)$ , это та часть, где я не понимаю?

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Я уже нашел это, используя данные значения, которые:

\begin{matrix} (6) & \int_{1}^{0} Икс (т) г т "=" \frac{3}{8} \cdot (1 - е^{800}) \end{matrix}

$\int_1^0\text{X}\left(t\right)\space\text{d}\tau=\frac{3}{8}\cdot\left(1-e^{800}\right)\tag6$

И:

\begin{matrix} (7) & \frac{1}{л} \cdot опыт (- \frac{р}{л} \cdot т) "=" 40 е^{- 800 т} \end{matrix}

$\frac{1}{\text{L}}\cdot\exp\left(-\frac{\text{R}}{\text{L}}\cdot t\right)=40e^{-800t}\tag7$

И:

\int_{1}^{т} Икс (т) г т "=" \int_{1}^{т} опыт (\frac{р}{л} \cdot т) \cdot {50 + \frac{400}{π} \cdot \sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{грех (200 π \cdot н \cdot т)}{н}} г т "="

$\int_1^t\text{X}\left(\tau\right)\space\text{d}\tau=\int_1^t\exp\left(\frac{\text{R}}{\text{L}}\cdot\tau\right)\cdot\left\{50+\frac{400}{\pi}\cdot\sum_{\text{n}=1}^\infty\frac{\sin\left(200\pi\cdot\text{n}\cdot\tau\right)}{\text{n}}\right\}\space\text{d}\tau=$

\int_{1}^{т} опыт (\frac{р}{л} \cdot т) \cdot 50 г т + \int_{1}^{т} опыт (\frac{р}{л} \cdot т) \cdot \frac{400}{π} \cdot \sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{грех (200 π \cdot н \cdot т)}{н} г т "="

$\int_1^t\exp\left(\frac{\text{R}}{\text{L}}\cdot\tau\right)\cdot50\space\text{d}\tau+\int_1^t\exp\left(\frac{\text{R}}{\text{L}}\cdot\tau\right)\cdot\frac{400}{\pi}\cdot\sum_{\text{n}=1}^\infty\frac{\sin\left(200\pi\cdot\text{n}\cdot\tau\right)}{\text{n}}\space\text{d}\tau=$

\begin{matrix} (8) & \frac{е^{800 т} - е^{800}}{16} + \frac{400}{π} \cdot \sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{1}{н} \cdot {\int_{1}^{т} опыт (800 \cdot т) \cdot грех (200 π \cdot н \cdot т) г т} \end{matrix}

$\frac{e^{800t}-e^{800}}{16}+\frac{400}{\pi}\cdot\sum_{\text{n}=1}^\infty\frac{1}{\text{n}}\cdot\left\{\int_1^t\exp\left(800\cdot\tau\right)\cdot\sin\left(200\pi\cdot\text{n}\cdot\tau\right)\space\text{d}\tau\right\}\tag8$

Ответы (2)

Нахождение средней мощности, рассеиваемой на резисторе

стоббе · Answer 1

Ваш подход и предлагаемый ответ ужасно сложны для схемы с одним единственным сопротивлением нагрузки. $Z=R + jx$ .

Поскольку это домашнее задание, я могу только подсказать вам, как бы я подошел к этой проблеме, если бы у меня был только блокнот (без Spice или Matlab).

Найдите среднеквадратичное значение каждого источника напряжения как функцию от n.
Используйте суперпозицию и запишите кажущуюся мощность как функцию каждого источника напряжения (вы просуммируете их вместе в конце).
Полная мощность цепи равна $V_{rms}^2/Z$ .
Запишите импеданс нагрузки как функцию n, $Z = R + j\omega L$ , где $\omega = 200 \pi n$ .
Нормировать кажущуюся мощность (разделить верх/низ на комплексное сопряжение знаменателя).
Мощность, рассеиваемая резистором, является реальной мощностью. Оставьте воображаемую мощность для повторного использования.
Завершите суммирование активной мощности каждого источника напряжения.

Джеймс · Answer 2

Ваш подход смелый и делает вашу жизнь трудной. Первым шагом к решению этой проблемы является осознание того, что до окончательного расчета, где вы берете квадрат тока, все линейно.

Поскольку это так, решите найти вклад в I(t) от каждого члена суммы. (на данный момент игнорируя компонент постоянного тока 50)

В я н (т) "=" \frac{400}{π} \frac{грех (200 н π т)}{н}

$Vin(t) = \frac{400}{\pi} \frac{\sin(200 n \pi t)}{n}$

В я н (т) "=" р я (т) + л \frac{г я (т)}{г т}

$Vin(t) = R~I(t) + L \frac{dI(t)}{dt}$

Решение, которое дает:

я (т) "=" 400 \frac{200 л н π потому что (200 н π т) - р грех (200 н π т)}{н π (40000 л^{2} н^{2} π^{2} + р^{2})}

$I(t) = 400\frac{200 L n \pi \cos(200 n \pi t) - R \sin(200 n \pi t)}{n \pi (40000~L^2 n^2 \pi^2 + R^2)}$

Игнорируя, WLOG, потому что мы ищем среднее значение, любые непериодические переходные условия, такие как

е^{- \frac{р т}{л}}

$e^{-\frac{R t}{L}}$

Теперь вы можете, используя линейность, собрать сумму

я (т) "=" 400 \sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{200 л н π потому что (200 н π т) - р грех (200 н π т)}{н π (40000 л^{2} н^{2} π^{2} + р^{2})}

$I(t) = 400\sum_{n=1}^\infty \frac{200 L n \pi \cos(200 n \pi t) - R \sin(200 n \pi t)}{n \pi (40000~ L^2 n^2 \pi^2 + R^2)}$

Один из полезных результатов, который вы можете знать или не знать из математики, состоит в том, что

\int_{0}^{2 π} потому что (а т) грех (б т) г т "=" 0, \forall а, б е Н

$\int_0^{2\pi} \cos(a t)\sin(b t)~dt =0, \forall a,b \in \mathbb{N}$

и

\int_{0}^{2 π} грех (а т) грех (б т) г т "=" 0, \forall а, б е Н и а \neq б

$\int_0^{2\pi} \sin(a t)\sin(b t)~dt =0, \forall a,b \in \mathbb{N} \text{ and } a\neq b$

(аналогично, потому что)

Интеграл, который вам сейчас нужно сделать, это

\int_{0}^{1} 400^{2} (\sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{200 л н π потому что (200 н π т) - р грех (200 н π т)}{н π (40000 л^{2} н^{2} π^{2} + р^{2})}) (\sum_{м "=" 1}^{\infty} \frac{200 л м π потому что (200 м π т) - р грех (200 м π т)}{м π (40000 л^{2} м^{2} π^{2} + р^{2})}) г т

$\int_0^1 400^2 \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{200 L n \pi \cos(200 n \pi t) - R \sin(200 n \pi t)}{n \pi (40000~ L^2 n^2 \pi^2 + R^2)} \right) \left(\sum_{m=1}^\infty \frac{200 L m \pi \cos(200 m \pi t) - R \sin(200 m \pi t)}{m \pi (40000~ L^2 m^2 \pi^2 + R^2)} \right)dt$

Используя приведенные выше соотношения, вы можете быстро увидеть, что большинство членов in в интеграле исчезают, любой sin, умноженный на cos, равен нулю, а любое m, не равное n, равно нулю. То, что у вас осталось, это:

\int_{0}^{1} 400^{2} \sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{1}{(н π (40000 л^{2} н^{2} π^{2} + р^{2}))^{2}} (200 л н π потому что (200 н π т))^{2} + (р грех (200 н π т))^{2} г т

$\int_0^1 400^2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n \pi (40000~ L^2 n^2 \pi^2 + R^2))^2} (200 L n \pi \cos(200 n \pi t))^2 + (R \sin(200 n \pi t))^2 dt$

вытяните сумму через интеграл, а остальные интегралы тривиальны.

\int_{0}^{1} (с о с (200 π н т))^{2} г т "=" \int_{0}^{1} (с я н (200 π н т))^{2} г т "=" \frac{1}{2}

$\int_0^1 (cos(200 \pi n t))^2 dt = \int_0^1 (sin(200 \pi n t))^2 dt = \frac{1}{2}$

Я оставлю ее решение и подумаю, что делать с компонентом DC 50 для вас, поскольку это похоже на домашнюю задачу, а предварительный просмотр теперь находится слишком далеко от окна редактирования текста.

Вам может пригодиться следующий стандартный результат:

\sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{1}{н (а^{2} + н^{2})^{2}} "=" \frac{1}{4 а^{4}} (2 ψ^{(0)} (1 - Дж а) + 2 ψ^{(0)} (1 + Дж а) + Дж а ψ^{(1)} (1 - Дж а) - Дж а ψ^{(1)} (1 + Дж а) + 4 γ)

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(a^2+n^2)^2} = \frac{1}{4 a^4}\left(2\psi^{(0)}(1-ja)+2\psi^{(0)}(1+ja)+ja\psi^{(1)}(1-ja)-ja\psi^{(1)}(1+ja)+4\gamma \right)$

Хотя этот ряд сходится очень быстро, вы можете предпочесть численное решение.

Нахождение средней мощности, рассеиваемой на резисторе

27 января

Ответы (2)

стоббе

Джеймс

Нужна помощь в понимании концепции "Схемная модель разрядной цепи RL"

Применение комплексных чисел [закрыто]

Расчет мгновенной и средней мощности

Анализ сетки, закон Ома и соглашение о пассивных знаках

Определить номинальную мощность резистора по техпаспорту?

Вопрос о действующем значении реальной входной мощности

Можно ли сложить два разных коэффициента мощности cos(fi)?

Ток в заряженной RC цепи

Есть ли стандартный/надежный способ определить входное или выходное сопротивление?

Способны ли конденсаторы и катушки индуктивности поглощать положительную мощность?