Неправильное использование J2J2\mathbf J^2 при классификации представителей Пуанкаре

С О ( 1 , 3 ) имеет бесконечное число представлений, классифицируемых инвариантом Казимира п 2 .

С О ( 3 ) также имеет бесконечное число представлений, классифицируемых инвариантом Казимира Дж 2 .

Поскольку представления диффеоморфны тогда и только тогда, когда их инварианты Казимира совпадают, мы имеем право на этот метод классификации.

В случае С О ( 3 ) , физическая интерпретация:

  • Дж генерирует вращения системы покоя частицы.

  • Дж 2 , полный спин частицы, является размерностью векторного пространства, в которое мы решили встроить частицу.

Теперь я сбит с толку тем фактом, что мы используем Дж 2 , т.е. полный спин, чтобы классифицировать С О ( 1 , 3 ) . Это неправильная группа Ли! Как это не бред?

п 2 является правильным инвариантом Казимира - что с этим случилось?

  • Почему нет п 2 достаточный? - это инвариант Казимира, и поэтому он должен дать нам всю информацию о классификации (т.е. сказать нам, являются ли повторения диффеоморфными)!

  • Теперь предположим, что мы делаем все правильно (т.е. отбрасываем Дж 2 ) и использовать п 2 классифицировать представления.

    • Существуют ли «фермионы» или «бозоны», соответствующие м принимая в этом случае половинные или целые целые значения?

    • Наконец, представление м 2 "=" 3 не изоморфен м 2 "=" π (потому что п 2 инвариант Казимира). То же самое с м 2 "=" 2 и м 2 "=" 2.00000001 . Однако в большинстве учебников по теории поля м > 0 рассматривается как один случай. Для них это все пустяки. Что?!!!

Ответы (1)

Группа Пуанкаре имеет два инварианта Казимира, а именно п 2 и Вт 2 где

Вт мю "=" 1 2 ϵ мю ν р о Дж ν р п о
— псевдовектор Паули-Лубански . Таким образом, представления группы Лоренца помечены собственными значениями обоих п 2 и Вт 2 .

  1. Когда п 2 "=" − м 2 , у нас есть свойство Вт 2 "=" − м 2 Дж 2 . Таким образом, массивные состояния представлены их массой м 2 и их собственное значение при Дж 2 что по теории представлений С О ( 3 ) является ℏ 2 с ( с + 1 ) для с полуцелое. Таким образом, все массивные представления помечены символом м 2 и с . Спин с представительство 2 с + 1 размерный.

  2. Когда п 2 "=" 0 , как правило, есть две возможности для Вт мю .

    • Когда Вт → ∝̸ п → , то получается бесконечномерное представление, которое не наблюдается в природе (известное как представление непрерывного спина) и поэтому не рассматривается в физике. Однако именно эти представления порождают калибровочную инвариантность в квантовой теории.

    • Когда Вт → ∝ п → , то из согласованности с алгеброй Пуанкаре следует, что Вт → "=" 0 → а инвариант Казимиара просто Вт 0 "=" Дж → ⋅ п → (или скорее ( Вт 0 ) 2 ). Поэтому безмассовые состояния обозначаются их собственным значением под час "=" Дж → ⋅ п → п 0 которая известна как спиральность состояния.

Как правило, безмассовые состояния обозначаются одним числом. час и иметь одну степень свободы Однако при паритете час → − час . Таким образом, в любой теории с инвариантностью по четности частицу следует определять как состояние с час ⊕ − час представление, что дает две степени свободы для каждой частицы.

Неправильное использование J2J2\mathbf J^2 при классификации представителей Пуанкаре
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v