Представляет ли 1+31+3\bf{1+3} представление SU(2)SU(2)SU(2) также SU(2)×SU(2)SU(2)×SU(2)SU( 2)\раз ВС(2)?

Ваш текст по теории групп, вероятно, выдал вас, если он не уделял много времени противопоставлению двух случаев. Возможно связанный вопрос 254461 . Люди используют расплывчатый язык и символы, которые усугубляют путаницу. Если говорить абстрактно, без явных практических формул, это решает проблему (неразбериху)!

Позвольте мне придерживаться ваших 4-мерных матриц и векторов, всех тензорных произведений матриц 2x2 и 2-векторов в обоих случаях.

• Группа тензорного произведения (декартово произведение), такая как$SU(2)\times SU(2)$имеет групповые элементы типа$\exp (i\theta^a \sigma_a) \times \exp (i\phi^b \tau_b)$, где я использую σ s и τ s для матриц Паули, действующих в левом и правом пространствах соответственно — это яблоки и апельсины, думайте о них как о вращениях спина и вращениях изоспина. Они рядом. Важно отметить, что их углы поворота различны и безнадежно не связаны между собой: θ для вращения пространства/спина и φ для вращения изоспина. Вы можете объединить их в 4-мерное пространство, на которое воздействуют матрицы 4 × 4, без абсолютно никакого смысла. Важно отметить, что вы выбрали одну из многих возможностей для своей группы. Изоспиновая группа могла быть заменена другой ароматической группой, скажем, SU(3), так что тогда$SU(2)\times SU(3)$и у вас будет Гелл-Манна λs вместо τs , и ваше φs теперь будет равно 8.

• Это очень отличается от произведения Кронекера двух представлений SU (2), поэтому та же самая группа, выбранная здесь, состоит из двух дублетных представлений: добавление двух спинов 1/2 с. Групповой элемент может воздействовать на два разных пространства, слева и справа, но под одним и тем же углом , как в синхронном плавании .$~~~\exp (i\theta^a \sigma_a) \otimes \exp (i\theta^a \tau_a)$. Вы могли бы выбрать пространства разного размера для левого и правого, но образующие в экспоненте всегда должны быть матрицами представления одного и того же SU (2) в представлении по вашему выбору с одним и тем же углом. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим копроизведение на математическом языке, а именно

  $$\Delta(J^a) = \sigma^a \otimes 1\!\!1 +1\!\!1\otimes \tau^a .$$ Легко видеть, что это копроизведение подчиняется той же алгебре Лиа, что и представление , левое или правое, выбранное вами здесь как обе матрицы Паули «случайно». Итак, тогда$\Delta(J^a)$является прекрасным представлением SU(2). Насытить его тремя углами и возвести в степень, чтобы получить групповой элемент, $$\exp (i \theta^a \Delta(J^a) )= \exp (i \theta^a( \sigma^a \otimes 1\!\!1 +1\!\!1\otimes \tau^a))= \exp (i \theta^a \sigma^a)\otimes \exp (i \theta^a \tau^a),$$ где левый и правый члены в экспоненте коммутируют между собой, и, таким образом, экспоненциальные множители к двум экспонентам, действующим на левом и правом пространствах, соответственно, в тандеме . Теперь получается 4-мерный репс$\Delta(J^a)$s приводим. То есть, если бы мы записали ее в виде матрицы 4 × 4, она была бы приводимой: то есть подходящее преобразование подобия (Клебша-Гордана) преобразовало бы ее в блочную матрицу; здесь это довольно глупо, поскольку у него будет блок 3 × 3 и блок 1 × 1 с нулевыми элементами, поскольку матрицы спинов для синглетного представителя равны 0. Блок 3×3 будет просто матрицей с одним спином,$j^a$. Групповое действие на этом переставленном пространстве 3+1 будет$~~\exp(i\theta^a j^a)\oplus 1$, так как exp( i θ 0)=1, в исключительных случаях. Это произойдет, конечно, для всех продуктов Кронекера любых повторений , а не только для выбранного вами примера матриц Паули. Так что здесь имеет смысл изменить пространство тензорного произведения, так как это облегчает сокращение повторений.

• Вывод: посмотрите на углы --- параметры преобразования: когда вы объединяете группы, каждая группа будет иметь разные, даже если две группы совпадают. Теперь вы готовы встретиться с представителями группы Лоренца: разные группы, множество точек зрения! Если вместо этого вы комбинируете повторения, углы остаются теми же, что и размерность группы/алгебры Ли, но не более.

Я предполагаю, что вам не хватает следующего:

учитывая представление$\rho(g)$из$g\in$SU(2), действующая на некотором векторном пространстве$V$. Определим представление$\rho_\otimes$из SU (2) ( не из SU (2)$\times$СУ(2) ) на$V\otimes V$в качестве