Нормальный порядок в теории струн: Полчинский против всех остальных

Эти два определения не равны и приводят к разным выражениям для более сложных полей (составных) ОРЕ. В этих двух определениях используется одна и та же регуляризация (регуляризация с разделением точек), но разные схемы вычитания . Тот, который принят Полчинским, дается вычитанием сокращений между полями, в этой процедуре вычитаются расходящиеся и конечные члены. Возьмем в качестве примера следующие составные операторы OPE:

$$:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z)::\partial x^{\rho}(w):=:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z)\partial x^{\rho}(w):+:\partial x^{(\nu}(z):\eta^{\mu)\rho}\partial_z\partial_w\left(-\frac{\alpha'}{2}\log(|z-w|^2)\right)$$ $$=:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z)\partial x^{\rho}(w):-\frac{\alpha'}{2}\frac{\partial x^{\nu}(z):\eta^{\mu\rho}+\partial x^{\mu}(z):\eta^{\nu\rho}}{(z-w)^2}$$

расширение в$z\rightarrow w$числитель, мы получаем

$$=:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z)\partial x^{\rho}(w):-\frac{\alpha'}{2}\frac{\partial x^{\nu}(w):\eta^{\mu\rho}+\partial x^{\mu}(w):\eta^{\nu\rho}}{(z-w)^2}$$ $$-\frac{\alpha'}{2}\frac{\partial^2 x^{\nu}(w):\eta^{\mu\rho}+\partial^2 x^{\mu}(w):\eta^{\nu\rho}}{(z-w)}-\frac{\alpha'}{4}\partial^3 x^{\nu}(w):\eta^{\mu\rho}-\frac{\alpha'}{4}\partial^3 x^{\mu}(w):\eta^{\nu\rho}+\mathcal{O}(z-w)$$

вычитая расходящуюся часть, а затем отправить$z\rightarrow w$, это то же самое, что вычисление

$$\left(:\partial x^{\mu}(w)\partial x^{\nu}(w):,:\partial x^{\rho}(w):\right)=\oint_{C(w)}\frac{dz}{2\pi i}\frac{:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z)::\partial x^{\rho}(w):}{(z-w)}$$

и что мы получаем

$$\left(:\partial x^{\mu}(w)\partial x^{\nu}(w):,:\partial x^{\rho}(w):\right)=:\partial x^{\mu}(w)\partial x^{\nu}(w)\partial x^{\rho}(w):-\frac{\alpha'}{4}\partial^3 x^{\nu}(w)\eta^{\mu\rho}-\frac{\alpha'}{4}\partial^3 x^{\mu}(w):\eta^{\nu\rho}$$

есть дополнительный термин, обычно называемый условиями заказа, который появляется в правой части. Обратите также внимание на то, что$:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z):=(\partial x^{\mu}(z),\partial x^{\nu}(z))$. Очень важно заметить, что$::$порядок является ассоциативным и (анти-) коммутативным для бозонов (фермионов). $(,)$порядок не ассоциативен и не (анти-)коммутативен! Вот почему я предпочитаю рецепт Полчинского, но проблема с рецептом Полчинского заключается в том, что нам нужно заранее знать, какие «фундаментальные» поля будут строить любой другой локальный оператор и их ОРЕ для определения сжатия, в то время как$(,)$для заказа требуется только знание OPE, без выбора предпочтительного «фундаментального» поля.

Обычно физика не зависит от того, как вы определяете порядок между различными операторами, но при наличии взаимодействий или нелинейных ограничений физика зависит от того, как вы определяете порядок определенных операторов, поскольку составные операторы важны для динамики. и они чувствительны при заказе.

Обычное определение нормального упорядоченного продукта:

$$:X^\mu(z,\bar z)X^\nu(w,\bar w): = X^\mu(z,\bar z) X^\nu(w, \bar w) - \langle X^\mu(z,\bar z) X^\nu(w, \bar w) \rangle$$

Как вы сказали, это регулярная часть OPE, поскольку только расходящаяся часть двух операторов дает неисчезающий вклад в коррелятор. Конечно

$$\langle X^\mu(z,\bar z) X^\nu(w, \bar w) \rangle=- \frac{\alpha'}{2} \eta^{\mu\nu} \log |z-w|^2$$