Двойные сокращения OPE между TTT и eikXeikXe^{ikX}

Схватки даются:

$$:A::B:=\exp{\int -\frac{\alpha'}{2}\eta^{\mu\nu}\ln |z_1-z_2|^2\,\delta_{X^{\mu}(z_1,\bar{z}_1)}^{(A)}\delta^{(B)}_{X^{\nu}(z_2,\bar{z}_2)}} :AB:$$

В случае, когда$B=e^{ikX(z,z)}$Обратите внимание, что$B$является собственным функционалом$\delta^{B}_{X^{\nu}(z_2,\bar{z}_2)}$:

$$\delta^{B}_{X^{\nu}(z_2,\bar{z}_2)}e^{ikX(z,z)}=ik_{\nu}\delta^2(z-z_2)e^{ikX(z,\bar{z})}$$

так что нам просто нужно сделать$\delta^{B}_{X^{\nu}(z_2,\bar{z}_2)}\rightarrow ik_{\nu}\delta^2(z-z_2)$, получающий

$$:A::e^{ikX(z,\bar{z})}:=\exp{\int -\frac{\alpha'}{2}\eta^{\mu\nu}\ln |z_1-z_2|^2\,\delta_{X^{\mu}(z_1,\bar{z}_1)}^{(A)}(ik_{\nu}\delta^2(z-z_2)}) :Ae^{ikX(z,\bar{z})}:$$

и тогда сокращение будет как раз в$A$, делает

$$X(z',\bar{z}')^{\mu}\rightarrow \frac{\alpha'}{2}ik^{\mu}\ln|z'-z|^2$$

В вашем случае, где$A=\partial X(z,\bar{z}).\partial X(z,\bar{z})$у нас есть$2$способы заключения контракта только с одним из$X$и только один способ заключения контракта$X$х

TL;DR: Нет, порядок выполнения двойного сокращения$^1$следует модифицировать, т. е. следует подсчитывать только количество пар двойных сокращений.

Совет: чтобы не совершать комбинаторных ошибок, можно сначала рассмотреть моном вместо полного экспоненциального/вершинного оператора. Например$^2$

$${\cal R}( :X(z)^n::X(w)^m:)$$ приводит к $$n (n-1) \times m (m-1) \times \frac{1}{2!} \text{ double contractions},$$ и так далее.

--

$^1$Примечание для читателя: в нормализации Тонга каждое сокращение имеет коэффициент$\frac{\alpha^{\prime}}{2}$, ср. 2-я последняя формула на с. 80.

$^2$Здесь${\cal R}$обозначает часто неявно записываемый радиальный порядок. Расчет OPE состоит из оценки вложенной теоремы Вика между радиальным порядком${\cal R}$и обычный заказ$::$, ср. мой ответ Phys.SE здесь .