Расширение операторского продукта в ЦФТ

Прежде всего отметим, что радиальный оператор, упорядочивающий${\cal R}$неявно подразумевается во многих учебниках по CFT (например, Ref. 1). Например, ур. (2.2.7) на с. 39 в исх. 1 обсуждается теорема Вика между двумя предписаниями упорядочения операторов. В этом случае между обычным порядком$:~:$и радиальный порядок${\cal R}$. См. также, например, этот пост Phys.SE. Основное двухточечное отношение теоремы Вика:

$$\tag{1} : \hat{X}_i \hat{X}_j : ~=~ {\cal R}(\hat{X}_i \hat{X}_j)+ C_{ij},$$

где так называемое сокращение $C_{ij}$предполагается, что$c$-число. [Точнее:$C_{ij}$считается центральным элементом.] Здесь индексы$i,j,k,\ldots$являются сокращением для всех возможных дискретных и непрерывных меток операторов$\hat{X}_i ,\hat{X}_j,\hat{X}_k, \ldots$, ср. Сокращенная запись ДеВитта .

Искомое OP трехточечное отношение теоремы Вика равно$^1$

$$\tag{2} : \hat{X}_i \hat{X}_j\hat{X}_k : ~=~ {\cal R}(\hat{X}_i \hat{X}_j\hat{X}_k) +C_{ij} {\cal R}(\hat{X}_k) + C_{ik}{\cal R}(\hat{X}_j) + {\cal R}(\hat{X}_i)C_{jk}.$$

уравнения (1) и (2) могут быть формально обобщены к уравнению. (2.2.7) из ссылки. 1

$$\tag{3} :{\cal F}: ~=~ \exp \left(\frac{1}{2} \sum_{i,j} C_{ij}\frac{\partial}{\partial \hat{X}_i} \frac{\partial}{\partial \hat{X}_j} \right) {\cal R}({\cal F}),$$

где оператор${\cal F}$является функцией операторов$\hat{X}_i$. Обратите внимание, что операторы рассматриваются как коммутативные объекты под двумя символами порядка$:~:$и${\cal R}$. уравнение (3) является удобным формальным сокращением/мнемоникой различных$n$-точечные соотношения теоремы Вика.

Использованная литература:

1. Дж. Полчински, Теория струн, Vol. 1; стр.39.

--

$^1$В этом ответе мы для простоты предположили, что все операторы$\hat{X}_i$четны по Грассману. Если некоторые из операторов$\hat{X}_i$нечетны по Грассману, в уравнениях будут дополнительные знаковые множители. (2) и (3).