Основное уравнение бозонизации

Я думаю, что в первой формуле опечатка. Позвольте мне предложить этот (частичный) ответ для$3$первые формулы:

Потому что$H(z)H(0) \sim -ln(z)$, мы можем написать ОРЕ для любой пары операторов$F(H), G(H)$функции$H$(по аналогии с формулой$2.2.10$п.$39$объем$1$)

$$:F::G: = e^{- \large \int dz_1 dz_2 ln z_{12} \frac{\partial}{\partial H(z_1)}\frac{\partial}{\partial H(z_2)}} :FG:\tag{1}$$

Это дает, для$F = e^{i \epsilon_1 H(z_1)}, G = e^{i \epsilon_2 H(z_2)}$

$$:e^{i \epsilon_1 H(z_1)}::e^{i \epsilon_2 H(z_2)}: = (z_{12})^{\epsilon_1 \epsilon_2} :e^{i \epsilon_1 H(z_1)}e^{i \epsilon_2 H(z_2)}:\tag{2}$$

Итак, у нас есть:

$$:e^{iH(z)}::e^{-iH(0)}:~ = \frac{1}{z}~:e^{i H(z)}e^{-i H(0)}: ~\sim \frac{1}{z}:e^{i H(0)}e^{-i H(0)}: \sim \frac{1}{z}\tag{3}$$

$$:e^{iH(z)}::e^{iH(0)}:~ = z~:e^{i H(z)}e^{i H(0)}: ~\sim z~:e^{2i H(0)}: \sim O(z)\tag{4}$$

$$:e^{-iH(z)}::e^{-iH(0)}:~ = z~:e^{-i H(z)}e^{-i H(0)}: ~\sim z~:e^{-2i H(0)}: \sim O(z)\tag{5}$$

[РЕДАКТИРОВАТЬ]

Для последнего уравнения, я думаю, это те же рассуждения, что и в Vol.$1$, страница$173,174$, формулы$6.2.24$до$6.2.31$

[РЕДАКТИРОВАТЬ 2]

Формула$1$, а формула$(2.2.10)$не являются формулами ad hoc. Это следствие определения нормального порядка и определения сокращений. Это следствие общих формул$2.2.5$к$2.2.9$, , например :

$$F = :F:+ ~contractions \tag{2.2.8}$$ $$:F::G: = :FG:+ ~cross-contractions \tag{2.2.9}$$

Теперь мы можем специализироваться на голоморфных полях.$Y(z)$, так что$Y(z)Y(0) \sim f(z)$, и написать :

$$:F::G: = e^{ \large \int dz_1 dz_2 f(z_{12}) \frac{\partial}{\partial Y(z_1)}\frac{\partial}{\partial Y(z_2)}} :FG:\tag{6}$$ где $F$и $G$являются функциями $Y$

Специализация на голоморфном поле не меняет логики и вычислений, сделанных в$2.2.5$к$2.2.9$