Задача о коническом маятнике, упругая струна

Я столкнулся со следующей задачей на старом экзамене по университетскому курсу, который я изучаю. Он включает в себя конический маятник с эластичной струной:

введите описание изображения здесь

Я попытался найти решение и получил 10000 за свой ответ, который был указан в (а). Однако у меня есть некоторые вопросы по поводу решения, а именно, мне кажется, что оно не имеет физического смысла. Во-первых, вот мое решение:

Позволять θ угол между струной и вертикалью. Затем Т горизонтальный "=" Т грех ⁡ θ . Мяч описывает круговое движение с ускорением р ю 2 , таким образом

Т грех ⁡ θ "=" м р ю 2 .

Из геометрии мы видим, что р "=" л грех ⁡ θ , л являющийся длиной строки. л "=" л 0 + Т к , таким образом

Т грех ⁡ θ "=" м ( л 0 + Т к ) грех ⁡ θ ⋅ ю 2 .

С грех ⁡ θ не равно 0 между 0 и π / 2 рад ( 0  к  90 о ), мы можем разделить обе части на грех ⁡ θ ,

Т "=" м ( л 0 + Т к ) ю 2 .

Решение для Т ,

Т "=" м л 0 ю 2 + м ю 2 к Т ⇒ Т − м ю 2 к Т "=" м л 0 ю 2 ⇒ Т ( 1 − м ю 2 к ) "=" м л 0 ю 2 ⇒ Т "=" м л 0 ю 2 1 − м ю 2 к

Подстановка значений из вопроса дает,

Т "=" 0,5 ⋅ 1 ⋅ 100 2 1 − 0,5 ⋅ 100 2 10000 .

Хотя это указанный ответ, это не имеет для меня смысла. Это предполагает, что

а) Гравитация не действует.

(б) Когда ю ≈ 70,7 рад/с, напряжение не определено. (из-за деления на ноль).

(с) Когда ю превышает приблизительно 70,7 рад/с, напряжение становится отрицательным.

Ниже приведен график уравнения (значительно уменьшенный) с сайта desmos.com:

введите описание изображения здесь

Это не имеет для меня никакого физического смысла? Я где-то ошибся? Если да, то почему это неправильно и какое правильное решение? Если я не ошибся, то как это имеет физический смысл? Является доменом ю как-то ограничено?

Ответы (2)

Интерпретация уравнений должна соответствовать физической реальности. На вашем графике показаны значения Т и ю которые -ве; первое неосуществимо, второе не имеет смысла.

Натяжение струны определяется выражением Т потому что ⁡ θ "=" м г . Минимальное напряжение равно м г когда θ "=" 0 и становится бесконечно большим по мере того, как θ → 1 2 π .

Если бы струна была пружиной или стержнем, она могла бы испытывать сжатие, то есть отрицательное натяжение. Это могло бы быть реализовано, если бы масса вращалась над точкой подвеса. Однако при сжатии пружины или стержня центростремительная сила не может поддерживать движение массы по кругу.

Поэтому Т не может быть отрицательным и θ не может быть больше, чем 1 2 π .

Преобразуя ваше уравнение, угловая частота круговых колебаний определяется выражением

ю 2 "=" Т ( θ ) м л ( θ ) "=" г л 0 потому что ⁡ θ + м г к

Наименьшее возможное значение ю происходит в θ ≈ 0 и является г л 1 , то же, что и для малых колебаний простого маятника невращающейся длины л 1 "=" л 0 + м г к .

Максимально возможное значение ю происходит для θ "=" 1 2 π и является к м , то же, что и для колебаний упругой струны.

Так что да, стоимость ю ограничен диапазоном г л 1 ≤ ю ≤ к м .

Отличный ответ. Итак, мой окончательный ответ был верным, за исключением того, что его домен ограничен?
Я так и подозревал, тем более что ю "=" в / р "=" в / л грех ⁡ θ , а это означало, что по-прежнему существовала скрытая зависимость от θ , который имеет ограниченный домен. Кроме того, не означает ли ответ, что наличие силы тяжести или каких-либо сил, действующих по вертикали, не влияет на выражение для Т ( ю ) ?

Я думаю, гравитация имеет свое влияние, потому что здесь Т потому что ⁡ ( θ ) "=" м г . Итак, у нас есть θ "=" потому что − 1 ⁡ ( м г Т ) . Теперь вы указали Т "=" 10 4 Н . Мы также можем рассчитать угол наклона ( θ ), подставив значение м "=" 0,5 кг и г "=" 10 м / с 2 как,

θ "=" потому что − 1 ⁡ ( 0,5 × 10 10 4 ) "=" потому что − 1 ⁡ ( 0,0005 ) ∼ 90 о
Что означает угловую скорость ю удивительно высок!!! И я думаю, что это создаст огромное напряжение на пружине, и это правда ( Т "=" 10 4 Н, которые создают 10 4 м / с 2 на 1 масса кг!). Таким образом, закон Гука здесь недействителен, и вы не можете использовать выражение для конечной длины пружины как л "=" л 0 + Т к .

Я не думаю, что это отвечает на вопрос. Угловая скорость задается в вопросе как ( 100 р а г / с или 70,7 р а г / с ) так что это не удивительно высоко . Почему закон Гука не работает? Вопрос говорит, что это действительно. Вы не можете изменить условия вопроса.
Задача о коническом маятнике, упругая струна
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v