Рассеяние в gϕ3gϕ3g\phi^3-теории

Question

Рассеяние в gϕ3gϕ3g\phi^3-теории

Физика
интеграл по путям
диаграммы фейнмана
лагранжев формализм
квантовая теория поля
корреляционные функции

Кеннет против Б.

Я должен рассмотреть КТП с лагранжианом

л "=" \underset{"=" л_{0}}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} \partial_{мю} ф \partial^{мю} ф - \frac{м^{2}}{2} ф^{2}}} \underset{л_{инт}}{\underset{⏟}{- \frac{г}{6} ф^{3}}} .

$\mathscr{L}=\underbrace{\frac{1}{2}\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{m^2}{2}\phi^2}_{=\mathscr{L}_0}\underbrace{-\frac{g}{6}\phi^3}_{\mathscr{L}_{\text{int}}}.$

Задача состоит в том, чтобы найти связную и упорядоченную по времени двухточечную функцию с точностью до порядка $g^2$ .

В общем $n$ -точечные функции задаются формулой

г^{(н)} "=" (- я)^{н} {[\frac{1}{Z (0)} \frac{дельта}{дельта Дж ({Икс}_{1}) \cdot} \cdot . . . \cdot \frac{дельта}{дельта Дж ({Икс}_{н}) \cdot} Z (Дж)]}_{Дж "=" 0}

$G^{(n)}=(-i)^n\left[\frac{1}{Z(0)} \frac{\delta}{\delta J(x_1)\cdot}\cdot ...\cdot\frac{\delta}{\delta J(x_n)\cdot} Z(J)\right]_{J=0}$

Поскольку меня интересует только двухточечная функция, у меня есть только

г^{(2)} "=" - {[\frac{1}{Z (0)} \frac{дельта}{дельта Дж ({Икс}_{1}) \cdot} \frac{дельта}{дельта Дж ({Икс}_{2}) \cdot} Z (Дж)]}_{Дж "=" 0} .

$G^{(2)}=-\left[\frac{1}{Z(0)} \frac{\delta}{\delta J(x_1)\cdot}\frac{\delta}{\delta J(x_2)\cdot} Z(J)\right]_{J=0} .$

Это означает, что мне нужна функция распределения Z (J):

Z (Дж) "=" \int Д ф опыт [я \int д^{4} Икс (л_{0} + л_{инт} - Дж (Икс) ф (Икс))] "=" Z_{0} (Дж) \cdot опыт [я \int д^{4} Икс л_{инт}]

$Z(J)=\int \mathscr{D} \phi \exp\left[i\int d^4x \left(\mathscr{L}_0+\mathscr{L}_{\text{int}}-J(x)\phi(x)\right)\right]=Z_0(J)\cdot \exp\left[i\int d^4x\;\mathscr{L}_{\text{int}} \right]$

"=" Z_{0} (Дж) \cdot опыт [- я \frac{г}{3!} \int д^{4} Икс ф^{3} (Икс)]

$= Z_0(J)\cdot \exp\left[-i\frac{g}{3!}\int d^4x\;\phi^3(x) \right]$

Теперь я могу расширить это до второго порядка экспоненциальной функции

(1 - я \frac{г}{3!} \int д^{4} {Икс}_{1} {(- я \frac{дельта}{дельта Дж ({Икс}_{1})})}^{3} + \frac{(- я)^{2}}{2!} {(\frac{г}{3!})}^{2} \int д^{4} {Икс}_{1} д^{4} {Икс}_{2} {(- я \frac{дельта}{дельта Дж ({Икс}_{1})})}^{3} {(- я \frac{дельта}{дельта Дж ({Икс}_{2})})}^{3})

$\left(1-i\frac{g}{3!}\int d^4 x_1 \;\left(-i\frac{\delta}{\delta J(x_1)}\right)^3+\frac{(-i)^2}{2!}\left(\frac{g}{3!}\right)^2 \int d^4x_1 d^4 x_2 \;\left(-i\frac{\delta}{\delta J(x_1)}\right)^3\left(-i\frac{\delta}{\delta J(x_2)}\right)^3 \right)$

\cdot опыт [- \frac{я}{2} \int д^{4} г_{1} д^{4} г_{2} Дж (г_{1}) г (г_{1} - г_{2}) Дж (г_{2})]

$\cdot \exp\left[-\frac{i}{2} \int d^4 z_1 d^4z_2 \; J(z_1) G(z_1-z_2)J(z_2)\right]$

значит по заказу $g^0$ у нас должен быть бесплатный распространитель $G^{(2)}_0(x_1,x_2)=G(x_1,x_2)$ . Точки $x_1$ и $x_2$ соединены линией.

Теперь идет часть, с которой я застрял:

The $\int d^4 x_1 \;\left(-i\frac{\delta}{\delta J(x_1)}\right)^3$ часть должна дать нам вершину с 3 ногами. если я подключу $x_1$ к вершине у меня есть 3 варианта, а затем 2 с $x_2$ до вершины. Но тогда остается одно соединение. Я не знаю, что с этим делать, вероятно, потому, что я не уверен, что означает одна из этих диаграмм с точки зрения реальных взаимодействий частиц. Я не уверен, что это приводит к одной из этих диаграмм головастиков, о которых я читал (не уверен, что подразумевается под «удалением источника»).
И еще одна путаница - эти распространители, которые я обнаружил, когда проводил исследование этой теории.

Связаны ли они с вакуумным пузырем или связаны с моим вопросом?

Я ценю любую помощь, чтобы решить мою путаницу.

КАФ

Нарисованные вами пузырьки вакуума вносят свой вклад, если хотите, в функцию нулевой точки.

⟨ 0 | 0 ⟩

$\langle 0 | 0 \rangle$ при втором заказе. Нормализация любого n-точечного коррелятора такова, что они удаляются по порядку в теории возмущений.

Ответы (2)

Рассеяние в gϕ3gϕ3g\phi^3-теории

Нарисованные вами пузырьки вакуума вносят свой вклад, если хотите, в функцию нулевой точки. $\langle 0 | 0 \rangle$ при втором заказе. Нормализация любого n-точечного коррелятора такова, что они удаляются по порядку в теории возмущений.

КАФ · Answer 1

Упомянутая вами вершина с тремя ногами возникает в трехточечной функции в точке $\mathcal O(g)$ . Все вклады в двухточечную функцию до $\mathcal O(g^2)$ будет иметь, как на диаграмме Фейнмана, две исходные точки, помеченные $x_1$ , $x_2$ с нулем, одной или двумя вершинами взаимодействия, со связью $g$ .

В частности, оценивая

Z [Дж] \sim опыт (- я \frac{г}{3!} \int д^{4} Икс {(\frac{дельта}{дельта Дж (Икс)})}^{3}) опыт (- \frac{я}{2} \int д^{4} г_{1} д^{4} г_{2} Дж (г_{1}) г (г_{1} - г_{2}) Дж (г_{2}))

$Z[J] \sim \exp \left(-i\frac{g}{3!} \int d^4 x\, \left(\frac{\delta}{\delta J(x)}\right)^3 \right) \exp \left(-\frac{i}{2} \int d^4 z_1 d^4 z_2 J(z_1) G(z_1-z_2) J(z_2)\right)$ систематически посредством пертурбативного расширения в

g

$g$ Вы можете получить все схемы. В заказе

g^{0}

$g^0$ на самом деле все, что вы найдете, это пропагандист

G (x_{1} - x_{2})

$G(x_1-x_2)$ между двумя исходными точками. В заказе

g^{0}

$g^0$ ,

⟨ 0 | Т (ф ({Икс}_{1}) ф ({Икс}_{2})) | 0 ⟩ "=" \frac{1}{Z [0]} \frac{дельта}{дельта Дж ({Икс}_{1})} \frac{дельта}{дельта Дж ({Икс}_{2})} опыт (- \frac{я}{2} \int д^{4} г_{1} д^{4} г_{2} Дж (г_{1}) г (г_{1} - г_{2}) Дж (г_{2})) |_{Дж "=" 0}

$\langle 0 | T(\phi(x_1)\phi(x_2))|0\rangle = \frac{1}{Z[0]} \frac{\delta}{\delta J(x_1)} \frac{\delta}{\delta J(x_2)} \exp \left(-\frac{i}{2} \int d^4 z_1 d^4 z_2 J(z_1) G(z_1-z_2) J(z_2)\right)|_{J=0}$

В заказе $g$ , у вас есть три функциональные производные в $\mathcal L_{\text{int}}$ который при воздействии на $Z_0[J]$ исчезают из-за избытка исходных членов после дифференцирования, которое просто обнуляется из-за $J=0$ разделитель.

В $\mathcal O(g^2)$ , у вас есть шесть функциональных производных, и существует неисчезающий вклад, когда они действуют на член четвертого порядка $Z_0[J]$ только. Интерпретация состоит в том, что в одной вершине действуют три производные, дающие трехзубцовую $\phi^3$ взаимодействие, еще три воздействуют на другую вершину, а два оставшихся источника отождествляются с $x_1$ и $x_2$ после выступления с $\delta/\delta J(x_1)$ и $\delta/\delta J(x_2)$ .

В качестве упражнения убедите себя, что члены более низкого/высшего порядка в $Z_0[J]$ может не способствовать в $\mathcal O(g^2)$ к двухточечной функции. Они, конечно, в целом будут способствовать другим $n$ -точечные функции.

И как $\frac{\delta}{\delta J(x_2)}$ воздействовать на $\exp\left[-\frac{i}{2}\int d^4 z_1 d^4 z_2 J(z_1)G(z_1-z_2)J(z_2) \right]$ ? Я не привык к функциональным производным. я знаю отношения $\frac{\delta}{\delta J(x_1)} \int d^4 y J(y)\phi(y)=\phi(x_1)$ помогает ли это моей оценке?
@Kennethv.B. Вы используете правило продукта вместе с, например, $\delta J(z_1)/\delta J(x_2) = \delta(z_1-x_2)$ и $\int d^4 z_1 \delta(z_1-x_2) \phi(z_1) = \phi(x_2)$ . Так понятно? Да, это отношение помогает: это $\int д^{4} у \frac{дельта Дж (у)}{дельта Дж ({Икс}_{1})} ф (у) "=" \int д^{4} у дельта (у - {Икс}_{1}) ф (у) "=" ф ({Икс}_{1})$ $\int d^4 y \frac{\delta J(y)}{ \delta J (x_1)} \phi(y) = \int d^4 y \delta(y-x_1)\phi(y) = \phi(x_1)$

пикоп · Answer 2

Возможно, вы запутались в переменных здесь. То, что вы вычисляете в последней части вашего текста, представляет собой вакуумные графы, потому что вы не включили производные, которые вы записываете в $G^{(2)}$ . С ними вам нужно будет нажать несколько распространителей, чтобы подключиться к внешним точкам. $x_1$ и $x_2$ . Вы найдете однопетлевую коррекцию с двумя внутренними вершинами, но она будет исходить из термина $\frac1{2!} L_{int}^2$ , да и сам термин $L_{int}$ не будет вносить вклад в двухточечную функцию (все члены, которые она создает, имеют дополнительную $J$ который исчезает после того, как вы установили $J=0$ ).

Так что для порядка $g^0$ я должен рассчитать $- {[\frac{1}{Z (0)} \frac{дельта}{дельта Дж ({Икс}_{1})} \frac{дельта}{дельта Дж ({Икс}_{2})} опыт [- \frac{я}{2} \int д^{4} г_{1} д^{4} г_{2} Дж (г_{1}) г (г_{1} - г_{2}) Дж (г_{2})]]}_{Дж "=" 0}$ $-\left[\frac{1}{Z(0)}\frac{\delta}{\delta J(x_1)}\frac{\delta}{\delta J(x_2)} \exp\left[-\frac{i}{2} \int d^4 z_1 d^4z_2 \; J(z_1) G(z_1-z_2)J(z_2)\right]\right]_{J=0}$ Как применить производную к J? Я не очень хорошо знаком с функциональными производными и тем, как они действуют на G.
Я отредактировал свой первый комментарий (без уведомления, я думаю). Как применить производную к J? Я не очень хорошо знаком с функциональными производными и тем, как они действуют на J в интеграле.

Рассеяние в gϕ3gϕ3g\phi^3-теории

Кеннет против Б.

КАФ

Ответы (2)

КАФ

Кеннет против Б.

КАФ

пикоп

Кеннет против Б.

пикоп

Кеннет против Б.

Диаграммы головастиков в теории ϕ3ϕ3\phi^3

Об интерпретации диаграмм Фейнмана

Доказательство того, что эффективное / правильное действие является производящим функционалом одночастичных неприводимых (1PI) корреляционных функций.

Как вычислить квантовое эффективное действие из диаграмм Фейнмана 1PI?

Доказательство связанных диаграмм

Фактор симметрии по теореме Вика

Амплитуды переходов функциональными методами в КТП

Можем ли мы получить диаграммы Фейнмана, используя представление континуального интеграла бесконечным рядом?

Определение правил Фейнмана из лагранжиана

Если :V(ϕ)::V(ϕ):: V(\phi) : нелокальна в пространстве, означает ли это, что взаимодействующая квантовая теория поля нелокальна?