Обозначение твистора в пространстве-времени (Часть 1)

Матрицы$A^\mu$явно являются просто обратными матрицами, которые умножают «биспинорные компоненты» вектора, чтобы получить обычную компоненту вектора. Так$A^{\mu\dot\alpha \alpha}$является обратным к$\sigma^\mu_{\alpha\dot\alpha}$- вы лечите$\alpha,\dot\alpha$индексы как строки и столбцы - и это обратное также может быть получено простым повышением векторных индексов через$\eta^{\mu\nu}$и спинорные индексы через$\epsilon_{\alpha\beta}$и т. д.

Так что вся эта дискуссия была просто для того, чтобы сказать, что

$$A^{\mu\dot\alpha\alpha}\equiv \sigma^{\mu,\alpha\dot\alpha}$$ что не шокирует, потому что это единственный «хорошо ковариантный» объект с одним векторным индексом и двумя спинорными индексами.

$SL(2,C)$локально изоморфна$SO(3,1)^+$и наоборот. Это означает, что неприводимые представления этих двух групп (допускающие любые фазовые сдвиги при поворотах на 360 градусов) могут быть получены из тензорных произведений фундаментальных представлений$SL(2,C)$. Поскольку фундаментальные представления сложны, их два,${\bf 2}$и$\bar{\bf 2}$, а неприводимые представления

$${\bf 2}^{\otimes 2j_L,sym} \otimes \bar{\bf 2}^{\otimes 2j_R,sym}$$ Так что это просто представление, чья (комплексная) размерность равна $(2j_L+1)(2j_R+1)$. Если $j_L=j_R$, на это представление можно наложить условие реальности (которое должно заменить $j_L$и $j_R$потому что комплексное сопряжение меняет местами ${\bf 2}$и $\bar{\bf 2}$) так $(2j_L+1)(2j_R+1)$также является реальным размером.

Условия реальности представлений

Это ответ на другой ваш вопрос. Если$j_L=j_R$, то не нужно думать о сложном представлении, потому что представление можно сделать реальным: есть естественное условие реальности (коммутирующее с действием группы), которое можно наложить, чтобы превратить сложное представление в реальное.

Это представление определяется$(j_L,j_R)$также можно рассматривать как продолжение аналогичного представления$SU(2)\times SU(2)$который локально изоморфен$SO(4)$. Однако,$SO(4)$явно не является локально изоморфным$SO(3,1)$- эквивалентно,$SU(2)\times SU(2)$не является локально изоморфным$SL(2,C)$. Однако комплексообразование всех этих групп одинаковое – это$SO(4,C)$что локально совпадает с$SL(2,C)\times SL(2,C)$– это означает, что всегда можно получить представление одной из групп, продолжив представления другой. Поскольку неприводимые представления$SU(2)\times SU(2)$очевидно, задаются двумя независимыми угловыми моментами,$(j_L,j_R)$, по одному на каждый фактор, то же верно и для$SL(2,C)$хотя сама группа не распадается на два фактора (прямой продукт). Тот факт, что два независимых$j$должны быть указаны для$SL(2,C)$имеет другое объяснение, а именно, что его основное представление сложное, поэтому на самом деле есть два неэквивалентных основных повторения.

Подпись

Если вы хотите, чтобы определитель сменил знак, вы просто умножаете$\sigma_{\mu\alpha\dot\alpha}$по$i$. Это работает просто потому, что$i^2=-1$. Если вы думали, что$i$шокирующее число, это не так: некоторые матрицы$\sigma_\mu$неизбежно являются чисто мнимыми, независимо от вашего соглашения (обратите внимание, что матрица Паули$\sigma_y$чисто мнимое, например). Умножая их все на$i$или$-i$превращает действительные в чисто мнимые и наоборот: это эквивалентно изменению соглашений для «в основном положительных» или «в основном отрицательных» метрических тензоров.

Факторизация векторов

Иногда можно факторизовать$V_{\alpha\dot\alpha} = \lambda_\alpha \bar\lambda_{\dot \alpha}$. Однако это явно не относится ко всем векторам.$V$. Просто рассчитайте$V_\mu V^\mu$используя этот анзац. Вы получите это$(\lambda)^2 (\bar\lambda)^2$который тождественно равен нулю, поскольку каждый множитель равен нулю. Обратите внимание, что$\lambda^2=\epsilon_{\alpha\beta}\lambda^\alpha\lambda^\beta$исчезает, потому что это антисимметричный тензор, стянутый с симметричным. Таким образом, можно факторизовать только нулевые векторы. Но да, все они могут. Если$\bar\lambda$должен быть комплексно-сопряженным$\lambda$, затем$V$должен быть реальным нулевым вектором, направленным в будущее (или в прошлое, в зависимости от соглашения о подписи, обсуждаемом выше), чтобы декомпозиция существовала.

Нет никакого «соглашения», если вы пишете выражения только со всеми индексами. Всегда можно поднять и понизить спинорные индексы, используя$\epsilon$: нужно только решить, как индексы упорядочены в этом$\epsilon$который влияет только на общий знак.

Я чувствую, что в приведенном выше обсуждении используется много простых тождеств и шагов, с которыми вы, возможно, не знакомы, например, повышение и понижение индексов спинора с эпсилоном и вещи, которые следуют из переводов, таких как

$$\sigma_{\mu,\alpha\dot\alpha} \sigma_{\nu}^{\alpha\dot\alpha} = \eta_{\mu\nu}$$ Но таких вещей может быть много. Вы должны открыть их заново и проверить сами. Они неизбежны из-за симметрии, и невозможно перечислить абсолютно все аспекты этих групп и представлений в одном ответе Physics Stack Exchange.