Лоренцевы спиноры SO(n,1)SO(n,1)SO(n,1) и конформные спиноры SO(n,2)SO(n,2)SO(n,2)

  • Было бы здорово, если бы кто-нибудь дал мне ссылку (достаточно короткую!), которая объясняет (спинорную) теорию представления групп С О ( н , 1 ) и С О ( н , 2 ) .

Я просмотрел несколько стандартных книг по теории представлений и не смог найти ни одной.

  • В частности, я хотел бы знать, как спинор Лоренца С О ( н − 1 , 1 ) (сказать Вопрос ) «достраивается» до конформного спинора С О ( н , 2 ) (сказать В ) говоря,

В "=" ( Вопрос , С С ¯ )

где С является «оператором зарядового сопряжения» и С вероятно, это другое С О ( н − 1 , 1 ) спинор.

Существует ли некоторое естественное представление алгебры Клиффорда ( Г ), скрывающийся здесь, по отношению к которому я могу определить «оператор зарядового сопряжения» как С такой, что С − 1 Г С "=" − Г Т ? (... в общем случае представление алгебры Клиффорда также дает представление С О ( н , 1 ) ...Я хотел бы знать, как эта общая идея может работать здесь...)

  • Некоторые из других аспектов этой теории групп, которые я хочу знать, являются объяснением таких фактов, как:

    • С п ( 4 ) такой же как С О ( 3 , 2 ) , и основа С п ( 4 ) является спинором С О ( 3 , 2 )
    • С U ( 2 , 2 ) такой же, как SO (4,2), и основная часть С U ( 2 , 2 ) является спинором С О ( 4 , 2 )

    (... всего два "факта" в надежде, что люди могут указать мне на какую-то литературу (надеюсь, краткую!), которая объясняет систематику, из которой приведенное выше, вероятно, является двумя примерами...)

Ответы (1)

Альберт Крумейролле, «Ортогональные и симплектические алгебры Клиффорда», Клювер, Дордрехт, 1990.

Один находит для алгебры Клиффорда С ( м , н ) с базисными векторами γ мю что элементы 1 2 ( γ мю γ ν − γ ν γ мю ) порождают алгебру Ли, изоморфную с о ( м , н ) . С двумя новыми базисными векторами в С ( м + 1 , н + 1 ) которые ортогональны γ мю , γ п и γ М , сказать,

  • 1 2 ( γ п + γ М ) γ мю генерировать то, что можно принять за переводы,
  • 1 2 γ п γ М генерирует то, что можно принять за дилатации,
  • и 1 2 ( γ п − γ М ) γ мю генерируют то, что можно считать специальными конформными преобразованиями.

Спиноры — это идеалы алгебр Клиффорда, для которых точная структура — вещественная, комплексная или кватернионная — зависит от размерности и от того, работает ли человек над вещественными числами или над комплексным полем.

Crumeyrolle не написан для физиков, но основная структура такая же.

Говорится ли в этой книге Крумейролла о теории репрезентации С О ( н , 1 ) и С О ( н , 2 ) ? (... Я спрашиваю об этом специально, поскольку даже в стандартных книгах по спинорному представлению не говорится об этих классах групп..)
Извини, Анирбит, я этого не помню, и у меня нет копии. Я написал магистерскую диссертацию по алгебре Клиффорда (физика элементарных частиц, но сделанную на математическом факультете) почти 20 лет назад, для которой я нашел Крумейролла наиболее полезным текстом в то время на том математическом уровне, на который я был способен, отчасти потому, что он часто давал весьма откровенные презентации. Крумейролле обсуждает группы SO(m,n) косвенно, поскольку он обсуждает группы Spin и Pin. Однако, если вы хотите, чтобы явная математика была направлена ​​на группы Ли, а не на алгебры Ли, я думаю, вам подойдет другая книга.
Лоренцевы спиноры SO(n,1)SO(n,1)SO(n,1) и конформные спиноры SO(n,2)SO(n,2)SO(n,2)
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v