Общее матричное преобразование Лоренца

Question

Общее матричное преобразование Лоренца

пользователь3604362

Я только что закончил вводный курс теории относительности и пытаюсь найти общее матричное преобразование Лоренца. Я уже изучал этот вопрос , но я не мог многого из него сделать.

По сути, мы знаем, что для одного пространственного вектора, связывающего систему отсчета S и S':

[\begin{matrix} с т \\ Икс \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} γ & γ β \\ γ β & γ \end{matrix}] [\begin{matrix} с т^{'} \\ {Икс}^{'} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} ct \\ x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & \gamma \beta \\ \gamma \beta & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct' \\ x' \end{bmatrix} \end{equation}$ Это я упрощаю

x = L_{1} x^{'}

$x = L_1 x'$ . Поэтому я думаю, что если S' движется от S по двум пространственным координатам (

x

$x$ и

y

$y$ ), то я могу использовать первый ход

x

$x$ а потом в

y

$y$ , такой, что

x = L_{1} L_{2} x^{'}

$x=L_1 L_2 x'$ , в которой

L_{1}

$L_1$ я держу

y

$y$ координата фиксированная, а в

L_{2}

$L_2$ Я сохраняю координату x фиксированной. Написание этого будет:

[\begin{matrix} с т \\ Икс \\ у \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} γ_{Икс} & γ_{Икс} β_{Икс} & 0 \\ γ_{Икс} β_{Икс} & γ_{Икс} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} γ_{у} & 0 & γ_{у} β_{у} \\ 0 & 1 & 0 \\ γ_{у} β_{у} & 0 & γ_{у} \end{matrix}] [\begin{matrix} с т^{'} \\ {Икс}^{'} \\ у^{'} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} ct \\ x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_x & \gamma_x \beta_x & 0\\ \gamma_x \beta_x & \gamma_x & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_y & 0 &\gamma_y \beta_y\\ 0 & 1 & 0\\ \gamma_y \beta_y & 0& \gamma_y\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct' \\ x' \\ y' \end{bmatrix} \end{equation}$

[\begin{matrix} с т \\ Икс \\ у \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} γ_{Икс} γ_{у} & γ_{Икс} β_{Икс} & γ_{Икс} γ_{у} β_{у} \\ γ_{Икс} β_{Икс} γ_{у} & γ_{Икс} & γ_{Икс} β_{Икс} γ_{у} β_{у} \\ γ_{у} β_{у} & 0 & γ_{у} \end{matrix}] [\begin{matrix} с т^{'} \\ {Икс}^{'} \\ у^{'} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} ct \\ x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_x \gamma_y & \gamma_x \beta_x & \gamma_x \gamma_y \beta_y\\ \gamma_x \beta_x \gamma_y & \gamma_x & \gamma_x \beta_x \gamma_y \beta_y\\ \gamma_y \beta_y & 0 & \gamma_y\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct' \\ x' \\ y' \end{bmatrix} \end{equation}$ Для меня все это выглядит довольно аккуратно, но когда я пытаюсь применить это к сложению скорости, я получаю ложные результаты. Насколько я мог понять, ноль в последней матрице 3x3 неверен (что не исчезнет, если я также добавлю координату az...).

Поэтому я надеюсь, что кто-то может указать мне, где я делаю что-то неправильно, пытаясь создать более общее матричное уравнение Лоренца. Я нашел в Википедии большое матричное уравнение, но поскольку оно начинает говорить о поворотах и так далее, а также не показывает, как соединяются компоненты, я пока отклонил его.

(В случае, если это верно, и мое ощущение, что я ошибся, ложно из-за применяемого мной метода добавления скорости, дайте мне знать, и я также могу уточнить этот метод.)

Билл Н

Классическая электродинамика Дж. Д. Джексона описывает это. В основном существует единый

γ

$\gamma$ и три компонента скорости, и вы должны учитывать бесконечно малые матрицы вращения. Проверьте это: если ваш

L_{1}

$L_1$ и

L_{2}

$L_2$ не ездите на работу, вы не выполняете преобразование должным образом, чтобы получить общий 3D-результат. И они не ездят.

Фробениус

Композиция двух одномерных преобразований Лоренца (очевидно, вдоль одной оси) также является одномерным преобразованием Лоренца. Но композиция одномерного преобразования Лоренца вдоль

x -

$\:x-$ ось и одномерное преобразование Лоренца вдоль

y^{'} -

$\:y'\!-$ ось представляет собой двухмерное преобразование Лоренца плюс вращение.

пользователь3604362

@Frobenius, это действительно имеет смысл. Мне просто интересно, как можно было бы выполнить четырехмерное вращение (в случае, если бы я расширил его, включив также координату z).

Фробениус

... в этом случае вращение является двумерным. Готовлю новый комментарий. Потерпи.

Фробениус

В моем ответе как «user82794» в нем: два набора координат, каждый в кадрах OO и O'O' (преобразование Лоренца), а в РАЗДЕЛЕ B я создаю более общее преобразование Лоренца из одномерного измерения. Мои результаты идентичны тем, которые даны без доказательства в "CLASSICAL ELECTRODYNAMICS" JDJackson, 3-е издание, §§ 11.3.

Фробениус

\begin{aligned} (А-01а) & {Икс}^{'} & "=" Икс + (γ - 1) (н \cdot Икс) н - γ в т \\ (А-01б) & т^{'} & "=" γ (т - \frac{в \cdot Икс}{с^{2}}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & = \mathbf{x}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\cdot \mathbf{x})\mathbf{n}-\gamma \mathbf{v}t \tag{A-01a}\\ t^{\boldsymbol{\prime}} & = \gamma\left(t-\dfrac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{A-01b} \end{align}$ где

n = \frac{v}{‖ v ‖}

$\mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{v}}{\Vert\mathbf{v}\Vert}$ .

пользователь3604362

@Фробениус, спасибо! Я изучу его, но он выглядит многообещающе!

пользователь3604362

@Frobenius, просто возвращаясь к моей идее и вашему комментарию о необходимости добавить член вращения: разве я уже не учитываю вращение при определении LT в y так, чтобы x оставался постоянным? Я собрал это вместе, используя добавление скорости, так что от кадра S к S' мы двигаемся вдоль оси x (LT в x), затем от S' к S'', где S'' движется по оси X. направление y (и, следовательно, LT в y). Поскольку LT(S->S')LT(S'->S'') = LT(S->S''), я бы предположил, что моя идея верна.

Ответы (1)

Общее матричное преобразование Лоренца

Классическая электродинамика Дж. Д. Джексона описывает это. В основном существует единый $\gamma$ и три компонента скорости, и вы должны учитывать бесконечно малые матрицы вращения. Проверьте это: если ваш $L_1$ и $L_2$ не ездите на работу, вы не выполняете преобразование должным образом, чтобы получить общий 3D-результат. И они не ездят.
Композиция двух одномерных преобразований Лоренца (очевидно, вдоль одной оси) также является одномерным преобразованием Лоренца. Но композиция одномерного преобразования Лоренца вдоль $\:x-$ ось и одномерное преобразование Лоренца вдоль $\:y'\!-$ ось представляет собой двухмерное преобразование Лоренца плюс вращение.
@Frobenius, это действительно имеет смысл. Мне просто интересно, как можно было бы выполнить четырехмерное вращение (в случае, если бы я расширил его, включив также координату z).
... в этом случае вращение является двумерным. Готовлю новый комментарий. Потерпи.
В моем ответе как «user82794» в нем: два набора координат, каждый в кадрах OO и O'O' (преобразование Лоренца), а в РАЗДЕЛЕ B я создаю более общее преобразование Лоренца из одномерного измерения. Мои результаты идентичны тем, которые даны без доказательства в "CLASSICAL ELECTRODYNAMICS" JDJackson, 3-е издание, §§ 11.3.
$\begin{aligned} (А-01а) & {Икс}^{'} & "=" Икс + (γ - 1) (н \cdot Икс) н - γ в т \\ (А-01б) & т^{'} & "=" γ (т - \frac{в \cdot Икс}{с^{2}}) \end{aligned}$ $\begin{align} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & = \mathbf{x}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\cdot \mathbf{x})\mathbf{n}-\gamma \mathbf{v}t \tag{A-01a}\\ t^{\boldsymbol{\prime}} & = \gamma\left(t-\dfrac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{A-01b} \end{align}$ где $\mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{v}}{\Vert\mathbf{v}\Vert}$ .
@Фробениус, спасибо! Я изучу его, но он выглядит многообещающе!
@Frobenius, просто возвращаясь к моей идее и вашему комментарию о необходимости добавить член вращения: разве я уже не учитываю вращение при определении LT в y так, чтобы x оставался постоянным? Я собрал это вместе, используя добавление скорости, так что от кадра S к S' мы двигаемся вдоль оси x (LT в x), затем от S' к S'', где S'' движется по оси X. направление y (и, следовательно, LT в y). Поскольку LT(S->S')LT(S'->S'') = LT(S->S''), я бы предположил, что моя идея верна.

Фробениус · Answer 1

Из рисунка 01:

Преобразование Лоренца из $\:\mathrm{S}\equiv \{xy\eta, \eta=ct\}\:$ к $\:\mathrm{S_{1}}\equiv \{x_{1}y_{1}\eta_{1}, \eta_{1}=ct_{1}\}\:$

\begin{matrix} (01) & [\begin{matrix} {Икс}_{1} \\ у_{1} \\ η_{1} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} чушь ζ & 0 & - грех ζ \\ 0 & 1 & 0 \\ - грех ζ & 0 & чушь ζ \end{matrix}] [\begin{matrix} Икс \\ у \\ η \end{matrix}], танх ζ "=" \frac{ты}{с} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ \eta_{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\zeta & 0 & -\sinh\zeta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sinh\zeta & 0 & \hphantom{-}\cosh\zeta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \eta \end{bmatrix} \,, \quad \tanh\zeta=\dfrac{u}{c} \tag{01} \end{equation}$ или

\begin{matrix} (01") & {Икс}_{1} "=" л_{1} Икс, л_{1} "=" [\begin{matrix} чушь ζ & 0 & - грех ζ \\ 0 & 1 & 0 \\ - грех ζ & 0 & чушь ζ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{X_{1}}=\mathrm{L_{1}}\mathbf{X}\,, \qquad \mathrm{L_{1}}= \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\zeta & 0 & -\sinh\zeta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sinh\zeta & 0 & \hphantom{-}\cosh\zeta \\ \end{bmatrix} \tag{01"} \end{equation}$

Из рисунка 02:

Преобразование Лоренца из $\:\mathrm{S_{1}}\equiv \{x_{1}y_{1}\eta_{1}, \eta_{1}=ct_{1}\}\:$ к $\:\mathrm{S_{2}}\equiv \{x_{2}y_{2}\eta_{2}, \eta_{2}=ct_{2}\}\:$

\begin{matrix} (02) & [\begin{matrix} {Икс}_{2} \\ у_{2} \\ η_{2} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & чушь ξ & - грех ξ \\ 0 & - грех ξ & чушь ξ \end{matrix}] [\begin{matrix} {Икс}_{1} \\ у_{1} \\ η_{1} \end{matrix}], танх ξ "=" \frac{ж}{с} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\ \eta_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &\hphantom{-}\cosh\xi & -\sinh\xi \\ 0 & -\sinh\xi & \hphantom{-}\cosh\xi \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ \eta_{1} \end{bmatrix} \,, \quad \tanh\xi=\dfrac{w}{c} \tag{02} \end{equation}$ или

\begin{matrix} (02") & {Икс}_{2} "=" л_{2} {Икс}_{1}, л_{2} "=" [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & чушь ξ & - грех ξ \\ 0 & - грех ξ & чушь ξ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{X_{2}}=\mathrm{L_{2}}\mathbf{X_{1}}\,, \qquad \mathrm{L_{2}}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &\hphantom{-}\cosh\xi & -\sinh\xi \\ 0 & -\sinh\xi & \hphantom{-}\cosh\xi \\ \end{bmatrix} \tag{02"} \end{equation}$ Обратите внимание, что из-за стандартных конфигураций матрицы

L_{1}, L_{2}

$\:\mathrm{L_{1}}, \mathrm{L_{2}}\:$ действительно симметричны.

Из уравнений (01) и (02) имеем

\begin{matrix} (03) & {Икс}_{2} "=" л_{2} {Икс}_{1} "=" л_{2} л_{1} Икс ⟹ {Икс}_{2} "=" Λ Икс \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{X_{2}}=\mathrm{L_{2}}\mathbf{X_{1}}=\mathrm{L_{2}}\mathrm{L_{1}}\mathbf{X}\Longrightarrow \mathbf{X_{2}}=\Lambda\mathbf{X} \tag{03} \end{equation}$ где

Λ

$\:\Lambda\:$ композиция двух преобразований Лоренца

L_{1}, L_{2}

$\:\mathrm{L_{1}}, \mathrm{L_{2}}\:$

\begin{matrix} (04) & Λ "=" л_{2} л_{1} "=" [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & чушь ξ & - грех ξ \\ 0 & - грех ξ & чушь ξ \end{matrix}] [\begin{matrix} чушь ζ & 0 & - грех ζ \\ 0 & 1 & 0 \\ - грех ζ & 0 & чушь ζ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \Lambda=\mathrm{L_{2}}\mathrm{L_{1}}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &\hphantom{-}\cosh\xi & -\sinh\xi \\ 0 & -\sinh\xi & \hphantom{-}\cosh\xi \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\zeta & 0 & -\sinh\zeta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sinh\zeta & 0 & \hphantom{-}\cosh\zeta \\ \end{bmatrix} \tag{04} \end{equation}$ то есть

\begin{matrix} (04") & Λ "=" [\begin{matrix} чушь ζ & 0 & - грех ζ \\ грех ζ грех ξ & чушь ξ & - чушь ζ грех ξ \\ - грех ζ чушь ξ & - грех ξ & чушь ζ чушь ξ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \Lambda= \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\zeta & 0 & -\sinh\zeta \\ \hphantom{-}\sinh\zeta\sinh\xi &\hphantom{-}\cosh\xi & -\cosh\zeta\sinh\xi \\ -\sinh\zeta\cosh\xi & -\sinh\xi & \hphantom{-}\cosh\zeta\cosh\xi \\ \end{bmatrix} \tag{04"} \end{equation}$

Матрица преобразования Лоренца $\:\Lambda\:$ несимметрична, поэтому системы $\:\mathrm{S},\mathrm{S_{2}}\:$ не в стандартной конфигурации. Но можно было бы написать так

\begin{matrix} (05) & Λ "=" р \cdot л \end{matrix}

$\begin{equation} \Lambda=\mathrm{R}\cdot\mathrm{L} \tag{05} \end{equation}$ где

L

$\:\mathrm{L}\:$ представляет собой симметричную матрицу преобразования Лоренца из

S

$\:\mathrm{S}\:$ к промежуточной системе

S_{2}^{'}

$\:\mathrm{S'_{2}}\:$ в стандартной комплектации к нему и совместному переезду с

S_{2}

$\:\mathrm{S_{2}}\:$ , пока

R

$\:\mathrm{R}\:$ является чисто пространственным преобразованием из

S_{2}^{'}

$\:\mathrm{S'_{2}}\:$ к

S_{2}

$\:\mathrm{S_{2}}$ .

Теперь вам нужно найти матрицу преобразования Лоренца. $\:\mathrm{L}\:$ сначала, а потом доказать, что $\:\mathrm{R}\:$ является

\begin{matrix} (06) & р "=" [\begin{matrix} потому что ф & - грех ф & 0 \\ грех ф & потому что ф & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}], где загар ф "=" \frac{грех ζ грех ξ}{чушь ζ + чушь ξ}, ф е (- \frac{π}{2}, + \frac{π}{2}) \end{matrix}

$\begin{equation} \boxed{\color{blue}{\:\:\mathrm{R}= \begin{bmatrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi &\hphantom{-}\cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \,, \:\text{where}\: \tan\phi =\dfrac{\sinh\zeta\sinh\xi} {\cosh\zeta+\cosh\xi}\,, \: \phi \in \left(-\dfrac{\pi}{2},+\dfrac{\pi}{2}\right)}\:\:\vphantom{\begin{matrix}1\\1\\1\\1\\1\end{matrix}}} \tag{06} \end{equation}$ представляющий плоское вращение из

S_{2}^{'}

$\:\mathrm{S'_{2}}\:$ к

S_{2}

$\:\mathrm{S_{2}}\:$ , см. Рисунок 03.

РЕДАКТИРОВАТЬ

^{Матрица преобразования Лоренца $\:\mathrm{L}\:$ , от $\:\mathrm{S}\:$ в промежуточную систему $\:\mathrm{S'_{2}}\:$ в стандартной конфигурации к нему, это:}

\begin{matrix} (07) & л (υ) "=" [\begin{matrix} 1 + (γ_{υ} - 1) н_{Икс}^{2} & (γ_{υ} - 1) н_{Икс} н_{у} & - \frac{γ_{υ} υ_{Икс}}{с} \\ (γ_{υ} - 1) н_{у} н_{Икс} & 1 + (γ_{υ} - 1) н_{у}^{2} & - \frac{γ_{υ} υ_{у}}{с} \\ - \frac{γ_{υ} υ_{Икс}}{с} & - \frac{γ_{υ} υ_{у}}{с} & γ_{υ} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{L}\left(\boldsymbol{\upsilon} \right)= \begin{bmatrix} 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{x} & \left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{x}\mathrm{n}_{y} & \!-\dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{x}}{c} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{y}\mathrm{n}_{x} & 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{y} & \!-\dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{y}}{c} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \!-\dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{x}}{c} & \!-\dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{y}}{c} & \gamma_{\!\upsilon} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{07} \end{equation}$ В (07)

\begin{aligned} (08.1) & υ & "=" (υ_{Икс}, υ_{у}) \\ (08.2) & н & "=" (н_{Икс}, н_{у}) "=" \frac{υ}{‖ υ ‖} "=" \frac{υ}{υ} \\ (08.3) & γ_{υ} & "=" {(1 - \frac{υ^{2}}{с^{2}})}^{- \frac{1}{2}} "=" \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{υ^{2}}{с^{2}}}} \end{aligned}

$\begin{align} \boldsymbol{\upsilon} & = \left(\upsilon_{x},\upsilon_{y}\right) \tag{08.1}\\ \mathbf{n} & = \left(\mathrm{n}_{x},\mathrm{n}_{y}\right)=\dfrac{\boldsymbol{\upsilon}}{\Vert\boldsymbol{\upsilon}\Vert}=\dfrac{\boldsymbol{\upsilon}}{\upsilon} \tag{08.2}\\ \gamma_{\upsilon} & = \left(\!1\!-\!\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt{\!1\!-\!\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}} \tag{08.3} \end{align}$ где

υ

$\:\boldsymbol{\upsilon}\:$ - вектор скорости начала координат

{O^{'}}_{2} (\equiv O_{2})

$\:\mathrm{O'}_{\!\!2}\left(\equiv \mathrm{O}_{2}\right)\:$ в отношении

S

$\:\mathrm{S}$ ,

n

$\:\mathbf{n}\:$ единичный вектор вдоль

υ

$\:\boldsymbol{\upsilon}\:$ и

γ_{υ}

$\:\gamma_{\upsilon}\:$ соответствующий

γ -

$\:\gamma-$ фактор.

^{Вектор скорости $\:\boldsymbol{\upsilon}\:$ можно выразить через быстроты $\:\zeta,\xi\:$ и поэтому мы могли бы выразить матрицу $\:\mathrm{L}\:$ как функция от них. Для начала заметим, что вектор скорости $\:\boldsymbol{\upsilon}\:$ представляет собой релятивистскую сумму двух ортогональных векторов скорости $\:\mathbf{u}=\left(u\,,0\right),\mathbf{w}=\left(0\,,w\right)$}

\begin{matrix} (09) & υ "=" ты + \frac{ж}{γ_{ты}} "=" [ты, {(1 - \frac{{ты}^{2}}{с^{2}})}^{\frac{1}{2}} ж], γ_{ты} "=" {(1 - \frac{{ты}^{2}}{с^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\upsilon}=\mathbf{u}+\dfrac{\mathbf{w}}{\gamma_{\!u}}=\left[u\,,\left(\!1\!-\!\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\!\!\frac12}\!\!w\right]\,,\quad \gamma_{u} = \left(\!1\!-\!\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\!\!-\frac12} \tag{09} \end{equation}$ не путать с релятивистской суммой двух коллинеарных векторов скорости, указывающих в одном направлении

\begin{matrix} (10) & υ \neq \frac{ты + ж}{1 + \frac{ты ж}{с^{2}}} \end{matrix}

$\begin{equation} \upsilon \ne \dfrac{u\!+\!w}{1+\dfrac{uw}{c^{2}}} \tag{10} \end{equation}$ Из (09) имеем

\begin{aligned} (11.1) & \frac{υ_{Икс}}{с} & "=" \frac{ты}{с} "=" танх ζ \\ (11.2) & \frac{υ_{у}}{с} & "=" \frac{ж}{γ_{ты} с} "=" \frac{танх ξ}{чушь ζ} \\ (11.3) & {(\frac{υ}{с})}^{2} & "=" {(\frac{υ_{Икс}}{с})}^{2} + {(\frac{υ_{у}}{с})}^{2} "=" 1 - {(\frac{1}{чушь ζ чушь ξ})}^{2} "=" \frac{γ_{υ}^{2} - 1}{γ_{υ}^{2}} \\ (11.4) & γ_{υ} & "=" {(1 - \frac{υ^{2}}{с^{2}})}^{- \frac{1}{2}} "=" чушь ζ чушь ξ \end{aligned}

$\begin{align} \dfrac{\upsilon_{x}}{c} & = \dfrac{u}{\:\:c\:\:}=\tanh\zeta \tag{11.1}\\ \dfrac{\upsilon_{y}}{c} & = \dfrac{w}{\gamma_{u}c}= \dfrac{\tanh\xi}{\cosh\zeta} \tag{11.2}\\ \left(\dfrac{\upsilon}{c}\right)^{2} & = \left(\dfrac{\upsilon_{x}}{c}\right)^{2}+\left(\dfrac{\upsilon_{y}}{c}\right)^{2}=1-\left(\dfrac{1}{\cosh\zeta\cosh\xi}\right)^{2}=\dfrac{\gamma^{2}_{\upsilon}\!-\!1}{\gamma^{2}_{\upsilon}} \tag{11.3}\\ \gamma_{\upsilon} & = \left(\!1\!-\!\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac12}=\cosh\zeta\cosh\xi \tag{11.4} \end{align}$ и

\begin{aligned} (12.1) & \frac{γ_{υ} υ_{Икс}}{с} & "=" грех ζ чушь ξ \\ (12.2) & \frac{γ_{υ} υ_{у}}{с} & "=" грех ξ \\ (12.3) & 1 + (γ_{υ} - 1) н_{Икс}^{2} & "=" 1 + (γ_{υ} - 1) \frac{{(\frac{υ_{Икс}}{с})}^{2}}{{(\frac{υ}{с})}^{2}} "=" 1 + \frac{γ_{υ}^{2}}{1 + γ_{υ}} {танх}^{2} ζ "=" 1 + \frac{{грех}^{2} ζ {чушь}^{2} ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} \\ (12.4) & 1 + (γ_{υ} - 1) н_{у}^{2} & "=" 1 + (γ_{υ} - 1) \frac{{(\frac{υ_{у}}{с})}^{2}}{{(\frac{υ}{с})}^{2}} "=" 1 + \frac{γ_{υ}^{2}}{1 + γ_{υ}} \frac{{танх}^{2} ξ}{{чушь}^{2} ζ} "=" 1 + \frac{{грех}^{2} ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} \\ (12,5) & (γ_{υ} - 1) н_{Икс} н_{у} & "=" (γ_{υ} - 1) \frac{(\frac{υ_{Икс}}{с}) (\frac{υ_{у}}{с})}{{(\frac{υ}{с})}^{2}} "=" \frac{γ_{υ}^{2}}{1 + γ_{υ}} \frac{танх ζ танх ξ}{чушь ζ} "=" \frac{грех ζ грех ξ чушь ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} \end{aligned}

$\begin{align} \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{x}}{c} & = \sinh\zeta \cosh\xi \tag{12.1}\\ \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{y}}{c} & = \sinh\xi \tag{12.2}\\ 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{x} & = 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\dfrac{\left(\dfrac{\upsilon_{x}}{c}\right)^{2}}{\left(\dfrac{\upsilon}{c}\right)^{2}}=1\!+\!\dfrac{\gamma^{2}_{\!\upsilon}}{1\!+\!\gamma_{\!\upsilon}}\tanh^{2}\!\zeta=1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\zeta\cosh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} \tag{12.3}\\ 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{y} & = 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\dfrac{\left(\dfrac{\upsilon_{y}}{c}\right)^{2}}{\left(\dfrac{\upsilon}{c}\right)^{2}}=1\!+\!\dfrac{\gamma^{2}_{\!\upsilon}}{1\!+\!\gamma_{\!\upsilon}}\dfrac{\tanh^{2}\!\xi}{\cosh^{2}\!\zeta}=1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} \tag{12.4}\\ \left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{x}\mathrm{n}_{y} & =\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\dfrac{\left(\dfrac{\upsilon_{x}}{c}\right)\!\!\left(\dfrac{\upsilon_{y}}{c}\right)}{\left(\dfrac{\upsilon}{c}\right)^{2}}=\dfrac{\gamma^{2}_{\!\upsilon}}{1\!+\!\gamma_{\!\upsilon}}\dfrac{\tanh\!\zeta\tanh\!\xi}{\cosh\!\zeta}=\dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} \tag{12.5} \end{align}$ Итак, матрица

L (υ)

$\:\mathrm{L}\left(\boldsymbol{\upsilon} \right)\:$ уравнения (07) как функция быстрот

ζ, ξ

$\:\zeta,\xi\:$ является

\begin{matrix} (13) & л (υ) "=" [\begin{matrix} 1 + \frac{{грех}^{2} ζ {чушь}^{2} ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} & \frac{грех ζ грех ξ чушь ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} & - грех ζ чушь ξ \\ \frac{грех ζ грех ξ чушь ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} & 1 + \frac{{грех}^{2} ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} & - грех ξ \\ - грех ζ чушь ξ & - грех ξ & чушь ζ чушь ξ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{L}\left(\boldsymbol{\upsilon} \right)= \begin{bmatrix} 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\zeta\cosh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \!-\sinh\zeta \cosh\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \!-\sinh\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \!-\sinh\zeta \cosh\xi & \!-\sinh\xi & \cosh\zeta\cosh\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{13} \end{equation}$ Теперь, чтобы определить пространственное преобразование

R

$\:\mathrm{R}\:$ у нас есть от (05)

\begin{matrix} (14) & р "=" Λ \cdot л^{- 1} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{R}=\Lambda\cdot\mathrm{L}^{-1} \tag{14} \end{equation}$ Для

L^{- 1}

$\:\mathrm{L}^{-1}\:$ уравнение (07) дает

\begin{matrix} (15) & л^{- 1} "=" л (- υ) "=" [\begin{matrix} 1 + (γ_{υ} - 1) н_{Икс}^{2} & (γ_{υ} - 1) н_{Икс} н_{у} & \frac{γ_{υ} υ_{Икс}}{с} \\ (γ_{υ} - 1) н_{у} н_{Икс} & 1 + (γ_{υ} - 1) н_{у}^{2} & \frac{γ_{υ} υ_{у}}{с} \\ \frac{γ_{υ} υ_{Икс}}{с} & \frac{γ_{υ} υ_{у}}{с} & γ_{υ} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{L}^{-1}=\mathrm{L}\left(\!-\!\boldsymbol{\upsilon} \right)= \begin{bmatrix} 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{x} & \left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{x}\mathrm{n}_{y} & \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{x}}{c} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{y}\mathrm{n}_{x} & 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{y} & \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{y}}{c} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{x}}{c} & \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{y}}{c} & \gamma_{\!\upsilon} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{15} \end{equation}$ и из (13)

\begin{matrix} (16) & л^{- 1} "=" [\begin{matrix} 1 + \frac{{грех}^{2} ζ {чушь}^{2} ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} & \frac{грех ζ грех ξ чушь ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} & грех ζ чушь ξ \\ \frac{грех ζ грех ξ чушь ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} & 1 + \frac{{грех}^{2} ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} & грех ξ \\ грех ζ чушь ξ & грех ξ & чушь ζ чушь ξ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{L}^{-1}= \begin{bmatrix} 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\zeta\cosh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \sinh\!\zeta \cosh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \sinh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \sinh\!\zeta \cosh\!\xi & \sinh\!\xi & \cosh\!\zeta\cosh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{16} \end{equation}$ Так

\begin{matrix} (17) & р "=" [\begin{matrix} чушь ζ & 0 & - грех ζ \\ грех ζ грех ξ & чушь ξ & - чушь ζ грех ξ \\ - грех ζ чушь ξ & - грех ξ & чушь ζ чушь ξ \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 + \frac{{грех}^{2} ζ {чушь}^{2} ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} & \frac{грех ζ грех ξ чушь ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} & грех ζ чушь ξ \\ \frac{грех ζ грех ξ чушь ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} & 1 + \frac{{грех}^{2} ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} & грех ξ \\ грех ζ чушь ξ & грех ξ & чушь ζ чушь ξ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{R}= \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\zeta & 0 & -\sinh\zeta \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \hphantom{-}\sinh\zeta\sinh\xi &\hphantom{-}\cosh\xi & -\cosh\zeta\sinh\xi\vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \\ -\sinh\zeta\cosh\xi & -\sinh\xi & \hphantom{-}\cosh\zeta\cosh\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\zeta\cosh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \sinh\!\zeta \cosh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \sinh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \sinh\!\zeta \cosh\!\xi & \sinh\!\xi & \cosh\!\zeta\cosh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{17} \end{equation}$ Вышеупомянутое умножение матриц приводит к следующему выражению

\begin{matrix} (18) & р "=" [\begin{matrix} \frac{чушь ζ + чушь ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} & - \frac{грех ζ грех ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} & 0 \\ \frac{грех ζ грех ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} & \frac{чушь ζ + чушь ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{R}= \begin{bmatrix} \dfrac{\cosh\!\zeta\!+\!\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} &\!- \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \hphantom{-} 0 \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \hphantom{\!-} \dfrac{\cosh\!\zeta\!+\!\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \hphantom{-} 0 \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ 0 & 0 & \hphantom{-} 1 \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{18} \end{equation}$ Но

\begin{matrix} (19) & {(\frac{чушь ζ + чушь ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ})}^{2} + {(\frac{грех ζ грех ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ})}^{2} "=" 1 \end{matrix}

$\begin{equation} \left(\dfrac{\cosh\!\zeta\!+\!\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi}\right)^{2}=1 \tag{19} \end{equation}$ поэтому мы можем определить

\begin{matrix} (20) & потому что ф \overset{г е ф}{\equiv} \frac{чушь ζ + чушь ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ}, грех ф "=" \frac{грех ζ грех ξ}{1 + чушь ζ чушь ξ}, ф е (- \frac{π}{2}, + \frac{π}{2}) \end{matrix}

$\begin{equation} \cos\phi \stackrel{def}{\equiv}\dfrac{\cosh\!\zeta\!+\!\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi}\,, \qquad \sin\phi =\dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi}\,, \qquad \phi \in \left(-\tfrac{\pi}{2},+\tfrac{\pi}{2}\right) \tag{20} \end{equation}$ и наконец

\begin{matrix} (21) & р "=" [\begin{matrix} потому что ф & - грех ф & 0 \\ грех ф & потому что ф & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{R}= \begin{bmatrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi &\hphantom{-}\cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \tag{21} \end{equation}$ доказывая, что

R

$\:\mathrm{R}\:$ представляет собой вращение, см. рисунок 03.

это потрясающий ответ! Спасибо за все усилия! Я могу следовать за вами во всем. Я все еще пытаюсь понять, почему происходит вращение (я знаю, что так говорит математика, но что она говорит?). Это потому, что мы пытаемся выровнять ось X по направлению удаления системы S2?
Можно сказать, что для системы $\:\mathrm{S}\:$ его оси параллельны осям $\:\mathrm{S_{1}}\:$ и наоборот, потому что оси $\:x, x_{1}\:$ коллинеарны и $\:y, y_{1}\:$ нормальны к вектору скорости $\:\mathbf{u}\:$ . Это действительно также между системами $\:\mathrm{S_{1}},\mathrm{S_{2}}\:$ так как топоры $\:y_{1},y_{2}\:$ коллинеарны и $\:x_{1}, x_{2}\:$ нормальны к вектору скорости $\:\mathbf{w}\:$ . Но сказать, что $\:\mathrm{S}\:$ и $\:\mathrm{S'_{2}}\:$ двигаются с параллельными осями, это недопустимо, т.к. не имеет смысла.
Это связано с тем, что прямая упирается в систему $\:\mathrm{S'_{2}}\:$ наклонно к вектору скорости $\:\boldsymbol{\upsilon}\:$ , как его ось $\:x'_{2}\:$ например, в любой момент $\:t'_{2}\:$ совокупность одновременных событий в $\:\mathrm{S'_{2}}\:$ но не одновременно в $\:\mathrm{S}\:$ . Таким образом, для $\:\mathrm{S}\:$ не существует даже прямой линии, образа оси $\:x'_{2}\:$ .
Верно. Теперь это имеет смысл. Большое спасибо за все ваши усилия! Я обязательно повторю это еще несколько раз, но это золото!
@Frobenius Привет, не могли бы вы удалить свой предыдущий комментарий, пожалуйста, потому что он не по теме.

Общее матричное преобразование Лоренца

пользователь3604362

Билл Н

Фробениус

пользователь3604362

Фробениус

Фробениус

Фробениус

пользователь3604362

пользователь3604362

Ответы (1)

Фробениус

пользователь3604362

Фробениус

Фробениус

пользователь3604362

Себастьяно

Диаграммы Минковского: когда проецировать параллельно каким осям

Вывод преобразований Лоренца

Доказательство единственности преобразования между релятивистскими системами отсчета

Что неверно в этом рассуждении относительно специальной теории относительности?

Что такое событие в специальной теории относительности?

Чистый импульс Лоренца; транспонировать ≠≠\neq наоборот?

О зависимости времени перехода между системами отсчета в специальной теории относительности

Преобразование Лоренца, задача с выводом

Почему мы дифференцируем 4-вектор по собственному времени, чтобы получить 4-скорость?

Является ли относительность одновременности просто недостатком восприятия? [дубликат]