Объясняет ли статистика Ферми-Дирака античастицы?

Античастицы естественным образом возникают при изучении уравнения Дирака в рамках квантовой теории поля. Напомним, что мы можем разложить спинорное поле Дирака как плоскую волну, а именно:

$$\psi= \sum_{s=1}^2 \int \frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{p}}} \left[ b^s_p u^s(p)e^{ipx}+c^{s\dagger}_p v^s(p)e^{-ipx}\right]$$

и аналогично для сопряженного поля. Обратите внимание на появление двух разных операторов создания и уничтожения ; они порождают электрон и позитрон, античастицу.

---

Спинор Дирака преобразуется при представлении двойного покрытия$SL(2,\mathbb{C})$которое является приводимым представлением . Следовательно, мы можем предложить декомпозицию или анзац ,

$$\psi=u(p)e^{-ipx}$$

где$u(p)$представляет собой четырехкомпонентный спинор Дирака, который можно разбить на набор двухкомпонентных спиноров , известных как спиноры Вейля (и с условием реальности, спиноры Майораны):

$$u(p)=\left( \begin{array}{c} \sqrt{p\cdot \sigma}\, \xi\\ \sqrt{p \cdot \sigma}\, \xi\\ \end{array} \right)$$

для$\xi^{\dagger}\xi=1$. Античастица, позитрон, соответствует решению с отрицательной частотой , а именно,

$$v(p)=\left( \begin{array}{c} \sqrt{p\cdot \sigma}\, \eta\\ \sqrt{p \cdot \sigma}\, \eta\\ \end{array} \right)$$

где$\psi=v(p)e^{+ipx}$вместо. Обратите внимание , что оба решения имеют положительную энергию , т.к.

$$E=\int \mathrm{d}^3 x \, T^{00}=\int \mathrm{d}^3 x \, \bar{\psi}(m-\gamma^i \partial_i)\psi \geq 0$$

(Приведенное выше выражение получено путем применения теоремы Нётер к симметрии переноса пространства-времени, порождающей тензор энергии-импульса.)

---

И электрон, и позитрон являются фермионами, подчиняются одной и той же квантовой теории поля и удовлетворяют статистике Ферми-Дирака, которая, грубо говоря, предписывает нам квантовать теорию, используя антикоммутационные соотношения, а не коммутационные соотношения, иначе мы получили бы неограниченный снизу гамильтониан.