Объемная плотность заряда атома водорода

У меня есть проблема, где я должен рассчитать объемную плотность заряда нейтрального атома водорода. Потенциал дан, чтобы быть

$$\Phi = k \frac{e^{-ar}}{r} \left(1 + \frac{ar}{2}\right)$$ Теперь я попытался использовать уравнение Пуассона, заявив $$\Delta \Phi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$ что приводит меня к $$\rho = \Delta \left( \underbrace{\frac{q}{4 \pi \epsilon_0}}_{= k} \frac{e^{-\alpha r}}{r} \left( 1 + \frac{\alpha r}{2} \right) \right) = k \Delta \Big( \frac{e^{-\alpha r}}{r} + \frac{\alpha e^{-\alpha r}}{2} \Big) = k \left( \Delta \left( \frac{e^{-\alpha r}}{r} \right) + \frac{\alpha}{2} \Delta \left( e^{-\alpha r} \right) \right)$$ Теперь я определяю $f = e^{-\alpha r}$и $g = \frac{1}{r}$. Лапласиан произведения $fg$затем $$\Delta(fg) = g \Delta(f) + f \Delta(g) + \nabla (f) \cdot \nabla (g)$$ и производные $$\nabla(f) = - \alpha e^{-\alpha r} \hat{ \mathbf r} \qquad \qquad \Delta(f) = \alpha^2 e^{-\alpha r}$$ $$\nabla(g) = - \frac{1}{r^2} \hat{ \mathbf r} \qquad \qquad \Delta(g) = - 4 \pi \delta(r)$$ $$\implies \nabla(f) \cdot \nabla(g) = \frac{\alpha e^{-\alpha r}}{r^2}$$ Вставка этого обратно в исходное уравнение дает $$\rho = k e^{-\alpha r}\Big( \frac{\alpha^2}{r} - 4 \pi \delta(r) + \frac{\alpha}{r^2} + \frac{\alpha^3}{2} \Big)$$ Однако мне это кажется несколько неправильным, поскольку я ожидал, что выражение будет увеличиваться от начала координат, а затем уменьшаться после некоторого $r=R$так как потенциал электронной оболочки должен взять верх.

Может ли кто-нибудь подтвердить, что это правильно, или показать мне, где я допустил ошибку?

Помимо взятия производных, как в декартовых координатах, я попытался вычислить лапласиан путем расчета в сферических координатах, а также с использованием сферического лапласиана

$$\Delta \Phi = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial \Phi}{\partial r}\right)$$ но все равно получил тот же результат.