Получение перекрестного произведения из алгебры углового момента

Question

Получение перекрестного произведения из алгебры углового момента

Откровенный

Можно ли вывести:

\hat{л} "=" \hat{р} \times \hat{п}

$\begin{equation} \hat{L}=\hat{r}\times \hat{p} \end{equation}$ из алгебры углового момента:

[{\hat{л}}_{я}, {\hat{л}}_{Дж}] "=" я ℏ ϵ_{я Дж к} {\hat{л}}_{к} ?

$\begin{equation} [\hat{L}_i,\hat{L}_j]=i\ \hbar\ \epsilon_{ijk}\hat{L}_k\ ? \end{equation}$ Я где-то читал, что коммутационные соотношения вида

[а_{я}, б_{Дж}] "=" ϵ_{я Дж к} с_{к}

$\begin{equation} [a_i,b_j]=\epsilon_{ijk} c_k \end{equation}$ допускают «естественное переписывание в терминах кросс-произведений», но никаких подробностей по поводу этого утверждения не было.

Ответы (3)

Получение перекрестного произведения из алгебры углового момента

любопытный разум · Answer 1

Невозможно получить орбитальный угловой момент $L = r \times p$ из $\mathfrak{so}(3)$ только коммутационными соотношениями, поскольку спиновый оператор $S$ также выполняет те же коммутационные соотношения, но, конечно, отличается от $r \times p$ .

Это именно то, что я бы написал, но я не знаю, нужно ли говорить что-то еще, чтобы объяснить, почему или как мы знаем, что это вращение отличается.

hft · Answer 2

Я где-то читал, что коммутационные соотношения вида
$[а_{я}, б_{Дж}] "=" ϵ_{я Дж к} с_{к}$ $\begin{equation} [a_i,b_j]=\epsilon_{ijk} c_k \end{equation}$ допускают «естественное переписывание в терминах кросс-произведений», но никаких подробностей по поводу этого утверждения не было.

Это «естественное переписывание» канонических коммутационных соотношений для угловых моментов в терминах перекрестных произведений:

\vec{Дж} \times \vec{Дж} "=" я \vec{Дж}

$\vec J \times \vec J = i\vec J$

То есть, «естественное переписывание» относится к переписыванию самих коммутационных соотношений в терминах перекрестного произведения, а не переписывании отдельного углового момента в терминах перекрестных произведений других величин.

Явно, для углового момента:

\vec{Дж} \times \vec{Дж} "=" я \vec{Дж}

$\vec J \times \vec J = i\vec J$ Таким образом:

ϵ_{я Дж к} {Дж}_{Дж} {Дж}_{к} "=" я {Дж}_{я}

$\epsilon_{ijk}J_jJ_k=iJ_i$ Таким образом:

ϵ_{я л м} ϵ_{я Дж к} {Дж}_{Дж} {Дж}_{к} "=" я ϵ_{я л м} {Дж}_{я}

$\epsilon_{ilm}\epsilon_{ijk}J_jJ_k=i\epsilon_{ilm}J_i$ Таким образом:

{Дж}_{л} {Дж}_{м} - {Дж}_{м} {Дж}_{л} "=" я ϵ_{я л м} {Дж}_{я}

$J_lJ_m-J_mJ_l=i\epsilon_{ilm}J_i$ То есть:

[{Дж}_{л}, {Дж}_{м}] "=" я ϵ_{л м я} {Дж}_{я}

$[J_l,J_m]=i\epsilon_{lmi}J_i$

С точки зрения ваших «a», «b» и «c» аналогичное «естественное переписывание»:

\vec{а} \times \vec{б} + \vec{б} \times \vec{а} "=" 2 \vec{с}

$\vec a\times \vec b + \vec b \times \vec a=2\vec c$

Вы можете увидеть это, рассмотрев:

(\vec{а} \times \vec{б})_{я} "=" ϵ_{я Дж к} а_{Дж} б_{к} "=" ϵ_{я Дж к} (б_{к} а_{Дж} + [а_{Дж}, б_{к}])

$(\vec a \times \vec b)_i =\epsilon_{ijk}a_jb_k=\epsilon_{ijk}(b_ka_j+[a_j,b_k])$

"=" - ϵ_{я к Дж} б_{к} а_{Дж} + ϵ_{я Дж к} [а_{Дж}, б_{к}]

$=-\epsilon_{ikj}b_ka_j+\epsilon_{ijk}[a_j,b_k]$

"=" - (\vec{б} \times \vec{а})_{я} + ϵ_{я Дж к} ϵ_{Дж к л} с_{л}

$=-(\vec b \times \vec a)_i+\epsilon_{ijk}\epsilon_{jkl}c_l$

"=" - (\vec{б} \times \vec{а})_{я} + 2 {дельта}_{я л} с_{л}

$=-(\vec b\times\vec a)_i+2\delta_{il}c_l$

"=" (- \vec{б} \times \vec{а} + 2 с)_{я}

$=(-\vec b\times \vec a +2c)_i$

упс, хороший вопрос... как-то облажался... Позвольте мне это исправить.

ГавСобачка · Answer 3

\begin{aligned} [{\hat{А}}_{я}, {\hat{Б}}_{Дж}] & "=" ϵ_{я Дж к} {\hat{С}}_{к}, \\ {\hat{А}}_{я} {\hat{Б}}_{Дж} - {\hat{Б}}_{Дж} {\hat{А}}_{я} & "=" ϵ_{я Дж к} {\hat{С}}_{к}, \\ ϵ_{я Дж н} ({\hat{А}}_{я} {\hat{Б}}_{Дж} - {\hat{Б}}_{Дж} {\hat{А}}_{я}) & "=" ϵ_{я Дж н} ϵ_{я Дж к} {\hat{С}}_{к}, \\ ϵ_{я Дж н} {\hat{А}}_{я} {\hat{Б}}_{Дж} - ϵ_{я Дж н} {\hat{Б}}_{Дж} {\hat{А}}_{я} & "=" 2 {\hat{С}}_{н}, \\ {(\hat{\vec{А}} \times \hat{\vec{Б}})}_{н} + {(\hat{\vec{Б}} \times \hat{\vec{А}})}_{н} & "=" 2 {\hat{С}}_{н}, \\ \frac{1}{2} (\hat{\vec{А}} \times \hat{\vec{Б}} + \hat{\vec{Б}} \times \hat{\vec{А}}) & "=" \hat{\vec{С}} . \end{aligned}

$\begin{align} \left[\hat{A}_{i}, \hat{B}_{j} \right] & = \epsilon_{ijk}\hat{C}_{k}, \\[3mm] \hat{A}_{i}\hat{B}_{j} - \hat{B}_{j}\hat{A}_{i} & = \epsilon_{ijk}\hat{C}_{k}, \\[3mm] \epsilon_{ijn}\left( \hat{A}_{i}\hat{B}_{j} - \hat{B}_{j}\hat{A}_{i}\right) & = \epsilon_{ijn}\epsilon_{ijk}\hat{C}_{k}, \\[3mm] \epsilon_{ijn}\hat{A}_{i}\hat{B}_{j} - \epsilon_{ijn}\hat{B}_{j}\hat{A}_{i} & = 2\hat{C}_{n}, \\[3mm] \left(\hat{\vec{A}} \times \hat{\vec{B}}\right)_{n} + \left(\hat{\vec{B}} \times \hat{\vec{A}}\right)_{n} & = 2\hat{C}_{n}, \\[3mm] \frac{1}{2}\left(\hat{\vec{A}} \times \hat{\vec{B}} + \hat{\vec{B}} \times \hat{\vec{A}} \right) & = \hat{\vec{C}}. \end{align}$ благодаря тому факту, что

ϵ_{i j n} ϵ_{i j k} = 2 δ_{n k}

$\epsilon_{ijn}\epsilon_{ijk} = 2\delta_{nk}$ .

Помимо того факта, что иногда вы явно пишете суммирование, а иногда — неявно, в выводе нет ничего плохого. Вероятно, люди голосуют против, потому что нет пояснительного текста к уравнениям... или, может быть, явное/неявное сбивает с толку...

Получение перекрестного произведения из алгебры углового момента

Откровенный

Ответы (3)

любопытный разум

Тимей

hft

Нефенте

hft

ГавСобачка

ГавСобачка

hft

Одновременно коммутирующий набор

Почему оператор подъема и опускания не влияет на полный угловой момент?

Состав операторов сжатия?

Как r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) относятся к оператору орбитального углового момента?

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Квантово-механический угловой момент и формализм/обозначения спина

Спин, орбитальный угловой момент и полный угловой момент

Каков физический смысл коммутационных соотношений углового момента?

Собственные состояния орбитального углового момента в представлении |r⟩|r⟩|\mathbf{r}\rangle

L^xL^x\hat{L}_{x} и L^yL^y\hat{L}_{y} не коммутируют... или коммутируют?