Почему «настоящая» калибровочная группа стандартной модели SU(3)×SU(2)×U(1)/NSU(3)×SU(2)×U(1)/NSU(3) \times SU( 2) \раз U(1) /N?

На самом деле у Баэза есть еще одна статья (совместно с Уэртой), в которой об этом говорится более подробно. В частности, гл. 3.1, где это объясняется, наряду с некоторыми хорошими примерами. В результате получается, что гиперзаряды известных частиц работают как раз так, что действие этого генератора тривиально. В частности, у нас есть

Left-handed quark     Y = even integer + 1/3
Left-handed lepton    Y = odd integer
Right-handed quark    Y = odd integer + 1/3
Right-handed lepton   Y = even integer

Поскольку это единственные значения известных фермионов в Стандартной модели, этот генератор ничего не делает. Таким образом, вы можете просто взять полную группу по модулю подгруппы, сгенерированной$(\alpha, \alpha^{-3}, \alpha^2)$-- куда$\alpha$является шестым корнем из единицы.

Есть также эта статья Саллера, в которой более подробно рассматриваются «центральные корреляции» калибровочной группы Стандартной модели, но в более техническом изложении. Саллер также подробно описывает это в главе 6.5.3 своей книги .

Как мы можем видеть, что группа$N$создано

$$g = (e^{2\pi i/3} I, -I, e^{i\pi /3}) \in SU(3)\times SU(2)\times U(1)$$ тривиально действует на все поля Стандартной модели?

Прежде всего, обратите внимание, что$g$находится в центре$SU(3)\times SU(2)\times U(1)$. Поэтому его представителем в присоединенном представлении является тождество. Поскольку калибровочные бозоны преобразуются в присоединенном представлении,$N$действует на них тривиально.

Левые лептонные поля находятся в тривиальном представлении$SU(3)$и являются$SU(2)\times U(1)$дублет,

$$\Psi = \begin{pmatrix} \nu_L \\ \psi_L \end{pmatrix}.$$ Баэз использует нормализацию заряда, так что эти поля имеют $U(1)$обвинение $-3$., поэтому они также тривиально преобразуются при $N$. Лептон-правша $\psi_R$имеет $U(1)$обвинение $-6$в этой системе так тоже тривиально.

Левые (правые) кварки имеют$U(1)$обвинение$1$($4$или же$-2$) в этой системе и преобразовать при$SU(3)$. Легко видеть, что они также тривиально преобразуются при$N$.

(Обратите внимание, что в различных источниках указывается$1/3$соотношение зарядов кварков и лептонов в разных местах, так что будьте осторожны при сравнении.)

Суть в том, что если иметь непротиворечивую калибровочную теорию, содержащую материю с калибровочной группой

$$G:=SU(3)\times SU(2)\times U(1),$$ а если разделить $G$с нормальной подгруппой $N$, то материальные представления полей материи потенциально могут стать многозначными. Однако можно выбрать $N=\mathbb{Z}_6$таким образом, что материальные поля стандартной модели инвариантны. А также $N=\mathbb{Z}_6$оказывается максимально возможным в данном случае.

См. также этот и этот посты Phys.SE и ссылки в них для аналогичного обсуждения электрослабого сектора.

См. также соответствующий пост Phys.SE.

Использованная литература:

1. JC Baez, Многообразия Калаби-Яу и Стандартная модель, arXiv:hep-th/0511086 .

2. Д. Тонг, JHEP 07 (2017) 104 , arXiv:1705.01853 . (Совет: кнчжоу .)