Основана ли математика на убеждениях и предположениях?

Математика полностью основана на предположениях. Как вы сказали, большая часть стандартной математики в основном получена из ZF или ZFC.

Иногда вам даже приходится полагаться на предположения, но я думаю, вы уже знаете это, когда упоминаете теорему Гёделя о неполноте. Известным примером является континуум-гипотеза , которая не может быть доказана ни неправильной, ни верной в рамках ZF или ZFC. Поэтому, чтобы работать с этим, вы должны либо предположить, что это правда, либо нет.

Но: Есть причина, по которой нынешние Аксиомы такие, какие они есть. Они просто кажутся правильными для многих людей и, кажется, правильно отражают реальность, т. е. они, кажется, обосновывают теорию, которую можно применить к реальным вещам (например, к расчетам в физике или вычислительной технике).

Также взгляните на этот вопрос: была ли математика изобретена или открыта? .

Однако на данном этапе моей жизни я не нахожу мотивации, потому что я не знаю, что я знаю или что мы можем знать, или даже с чего начать.

Все математики, независимо от того, используют ли они стандартную математику (то есть принимают аксиомы, лежащие в основе стандартной математики) или нестандартную математику (что означает: другие аксиомы и правила, они отвергают господствующие аксиомы и не думают, что они feel right) признают, что текущее состояние дел в отношении выбранных аксиом правильно, т. е. истинно — таким образом, кажется, что есть что- то , что позволяет людям фальсифицировать правильность утверждения в отношении произвольных аксиом. И: Они приходят к тому же выводу.

Короче говоря, кажется, есть что-то, что позволяет вам рассуждать об истине. Это нечто не нарушается ни в математике (ни в философских дебатах). Я бы даже зашел так далеко и сказал, что математика — это то, что зарождается в человеческом разуме (при этом я думаю, что математика такая, какая она есть, из-за того, как устроен человеческий разум).

Является ли это «нечто » разумом , существуют ли другие умы и как все это работает — предмет другого обсуждения. Однако я считаю, что в конечном итоге все заканчивается верой и предположением.

Я, например, верю в свое существование и предполагаю, что есть другие, реальные люди, которые, если им дать набор аксиумов, выводят ту же математику, что и я, когда это делаю я. Но нет никакого способа заземлить что-либо из этого.

Да, математика (и классическая логика) основана на убеждениях и предположениях.

Некоторые из них сформулированы явно, как аксиомы.

Другие обычно не указываются. Хороший пример этого можно найти в основополагающей статье Льюиса Кэрролла « Что черепаха сказала Ахиллесу ».

Похоже, то, что казалось герметичной логикой, на самом деле полно парадоксов, цикличности и относительности.

Это действительно так. Постарайтесь не позволить этому сбить вас с толку.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Почему это обязательно так, см . Трилемму Агриппы .

Провокационно, то, что математика основана на убеждениях и предположениях, буквально верно, но это вводит в заблуждение своей наглой контринтуитивностью с шокирующим заголовком.

То, что люди считают математикой, в основном арифметикой, настолько - очевидно-, что было бы (это-есть-) безумием сомневаться в этом (а именно сцена Оруэлла "2+2=4" в "1984"). Как только вы изучите правила геометрии, хотя вещи и не очевидны, как только утверждение доказано, оно становится неопровержимым.

Как только что-то доказано психологически, эта «теорема» работает точно так же, как убеждение; вы считаете истинным все, что было раньше (с теоремой что-то оправданное произошло раньше). И часто то, что делает математик, так это берет теорему, которую кто-то якобы доказал, не оценивая эту теорему полностью, и рассматривает ее как истину, как веру. Так что на самом деле это вера.

Но, разгадывая теорему, мы сталкиваемся с теоремами внутри, а внутри них даже с «меньшими» или «предшествующими» теоремами, которые нужно доказать... где же это останавливается? Что ж, это и есть «аксиома», утверждение, которое принимается за искусственно истинное без каких-либо оснований; это просто -есть-.

Такие аксиомы по существу принимаются, это забавный способ выразиться, как вопрос веры (конечно, большинство аксиом действительно «видят» как истинные, точно так же, как «2+2=4» считается истинным (с вряд ли мысль вообще).

Теперь вы можете подумать: хорошо, хорошо, но в математике должно быть что-то принципиально бесспорное, в конце концов, если какая-либо наука и имеет шанс быть по-настоящему истинной, то это математика (в отличие от физики и других естественных наук, где можно легко представить случайные факты).

Логика претендует на то, чтобы быть этой фундаментальной частью математики. И это - самое основное. Но математическое мышление, хотя и несколько извращенным образом, является самым скептическим мышлением из всех; вы видите шаблон (все простые числа > 2, которые я видел, все нечетные), но вы чувствуете необходимость доказать это, не сомневаясь, что это правда. И еще можно скептически относиться к логическим правилам. Это великое достижение логики 20-го века, что можно скептически относиться к простым утверждениям вроде «P или не P — это тавтология» и поэтому требовать доказательства, а также видеть, что тайные изменения в том, как кто-то определяет эти термины, могут фактически сделать это утверждение неверным.

На каждом этапе пути, даже если математика выглядит очевидно верной, всегда действуют убеждения и предположения.

Математика не основана на предположениях и убеждениях, в отличие от систем аксиом. Он основан на понятии вычислений. Понятие вычисления инвариантно, оно одинаково в любой достаточно сложной системе аксиом, так что компьютеры, описываемые PRA, PA, ZF, ZFC, ZF+большие кардиналы или любой другой системой аксиом достаточной мощности для описания компьютера ; все одинаковые.

Это отличается от других понятий в математике — набор действительных чисел, например, общеизвестно отличается от системы аксиом к системе аксиом и внутри данной системы аксиом от модели к модели. В некоторых системах аксиом для теории множеств действительные числа имеют мощность алеф-1 (первый несчетный кардинал), наиболее известным из которых является V = L (конструируемая вселенная Гёделя). В некоторых моделях ZFC имеет мощность алеф-19. Вопрос о мощности действительных чисел не имеет абсолютного смысла, поскольку не является вычислительным.

Если вы используете вычислительную основу, вы можете избавиться от замешательства — того, что я назову «болезнью Геделя». Каждый математик проходит через гёделевскую болезнь, когда слышит о теореме Гёделя, пока не начинает заниматься логикой. Аргумент Гёделя, по сути, только показывает, что понятие вычисления, которое является абсолютным, может быть использовано для усиления систем аксиом, пока вы не достигнете пределов вычислений.

Можно (разумно) определить математику следующим образом:

Проблема выяснения того, какие компьютерные программы останавливаются, а какие нет.

Особенность компьютерных программ в том, что если они останавливаются, вы можете увидеть это за конечное время (но это может занять слишком много времени), а если они не останавливаются, вы иногда можете это доказать (но это может занять слишком много времени). найти доказательство, иначе система аксиом окажется слишком слабой). Эти вещи абсолютны и относятся только к целым числам и операциям, которые явно имеют смысл. Единственная, возможно, бессмысленная вещь здесь — это предел бесконечного времени, но я предполагаю, что вы можете принять эту самую мягкую из всех бесконечностей.

Чтобы увидеть, что это определение включает в себя почти всю обычную математику, рассмотрим любую гипотезу С и спросим:

Подразумевают ли аксиомы ZF (или ZF+большие кардиналы) C?

Этот вопрос касается остановки компьютерной программы; он спрашивает:

Рассмотрим компьютерную программу DEDUCE, которая начинает с аксиом ZF и применяет логику, и если она находит утверждение C, останавливается. DEDUCE останавливается?

Если вы можете решить проблему остановки, вы знаете, какие теоремы являются следствиями ZF.

Но это не совсем вся математика, как вы можете видеть, приняв выражение «C» за «программа R не останавливается», где R — код самой программы DEDUCE. Эта конструкция доказывает теорему Геделя.

Теорема Геделя не является ограничением математики, и интерпретация Чайтина, вероятно, совершенно неверна. Если вы добавите аксиому о том, что программа выше не останавливается (это эквивалентно непротиворечивости аксиом ZF), вы получите более сильную систему. Повторение конструкции Гёделя по всем исчисляемым вычислимым ординалам (такими, которыми вы можете манипулировать на компьютере), насколько нам известно, доказывает каждую теорему вида «Программа P не останавливается» (и даже с оракулами, так что она выдает ответ на все математические вопросы).

Процесс итерации делает систему аксиом более сложной и позволяет отвечать даже на вопросы Чайтина (очевидно медленно, только когда порядковый номер становится достаточно сложным, чтобы иметь вычислительную сложность, превышающую сложность программы, которую вы хотите доказать, имеет минимальную длину). Это делает математику неполной в верхней части — вам нужно давать все более точные описания больших счетных ординалов.

Эта точка зрения помещает вычисления в основу, поскольку, в отличие от любого другого основополагающего понятия, понятие вычислений не зависит от аксиом — это вычисления Тьюринга во всех разумных определениях. Выражение всех математических вопросов с помощью вычислений проясняет, когда они проверяемы, а вычислительные представления моделей теории множеств делают очевидным, что Банах Тарский так же ложен, как и истинен, поскольку его можно принудить к любому варианту.

Лучший способ избавиться от болезни Геделя заключается в следующем:

• Порядковый анализ: это программа Гильберта под новым названием. Он жив и здоров в Германии. Он пытается доказать непротиворечивость ZF по большому счетному порядковому номеру. Одним из основных моментов этого является теория множеств Крипке-Платека, которая, в отличие от ZF, имеет порядковую сложность, которая полностью понятна.
• Форсирование Коэна: это анализ моделей теории множеств, но позволяющий присоединять к модели новые элементы, которые встречаются в любом множестве, где у вас есть бесконечное число бинарных выборов для выбора элемента (например, множество действительных чисел, которые имеют бесконечное число двоичных разрядов). Принуждение делает очевидным, что Банах Тарский может также быть ложным (ZFC не точен в моделировании интуитивных действительных чисел), вы можете считать каждое подмножество R измеримым, вы можете сделать гипотезу континуума истинной или ложной, и, как правило, вы получаете абсолютно неразрешимую вопросы обо всех коллекциях, которые слишком велики для перечисления на компьютере.
• Обратная математика: это попытка определить точную аксиоматическую силу каждой теоремы в математике.

Каждая из этих вещей является достаточно активной в логике, но они не афишируются, потому что логики склонны говорить на непонятном жаргоне и держать все в себе, воздвигая высокие барьеры для входа в свою область. Хорошее введение в логику и особенно в форсинг можно найти в книге Манина. В Интернете есть хорошие статьи на английском языке (немецкой школы) по порядковому анализу, а Харви Фридман — основатель программы обратной математики.

Если вы начнете с изучения теоремы полноты, это станет первым шагом к избавлению от болезни Геделя, которая не является непреодолимой дилеммой, как кажется.

Математика не основана на предположениях.

Большая часть часто используемой математики — да, но не в целом. Если вы посмотрите на весь математический предмет, вы обнаружите, что исследуется каждый возможный набор предположений , что равнозначно отсутствию предположений. Математика не сводится к одному набору аксиом, которым все следуют, люди фактически изучают почти все мыслимые аксиоматические системы и возможные правила вывода. Однако было замечено , что многие из этих систем не представляют интереса или не предоставляют плодотворных структур, и что многие математические операции, которые нам нужны или интересуют, можно выполнить с помощью небольшого общего набора предположений.

Чтобы доказать, что мы не используем никаких предположений, попробуйте записать любую детерминистическую систему. Если вы только что не опровергли тезис Черча-Тьюринга, ваша система уже описывается нашей математической системой и, вероятно, изоморфна какой-то уже открытой модели. Как вообще возможно, что мы можем моделировать и описывать любую систему, которую вы строите, исходя из каких-либо предположений, если наша система основана на узких предположениях и убеждениях?

В двух словах:

Можно счесть прискорбным, что математические абсолюты условны.

Однако гораздо приятнее радоваться тому, что математические условности абсолютны!

[Рискуя ответить вопреки моему первоначальному вопросу...]

«Reductio ad absurdum», которое так любил Евклид, — одно из лучших орудий математика. Это гораздо более изящный гамбит, чем любая шахматная игра: шахматист может предложить жертву пешки или даже фигуры, но математик предлагает игра." - GHHardy, Апология математика (Лондон, 1941).

Математика не только ставит перед собой вопрос о своей полноте и непротиворечивости, но и пытается диагностировать «парадоксы, цикличность и относительность» с помощью различных аппаратов. Рассматривать предмет с точки зрения иерархии было бы упущением сути. Логик делает еще один шаг и спрашивает, если субъект был основан на убеждениях, существуют ли степени таких убеждений и средства их количественной оценки? В отличие от других наук математик должен опасаться доказательств, но опровержений, если гипотеза недоказуема. Возможная переформулировка была бы такой, если бы математика основывалась на интуиции, а не на убеждениях, последнее означало бы туманную эпистемологию вселенной, где логика может дать сбой. (Владимир Воеводский в своем видео: Что, если современные основы математики непоследовательны?указал, что самолеты все равно не будут падать с неба).

Кроме того, этот предмет также открыл множество возможностей (модальная логика, теория информации, теория неопределенности, нейронные сети, клеточные автоматы и, конечно же, металогия), которые отсутствуют в исходном вопросе под общим термином, помогая сформировать наше понимание и расширить наш кругозор. .

Интересный взгляд на этот вопрос можно найти в книге Уильяма Байерса «Как думают математики».

Его утверждение состоит в том, что двусмысленность (определяемая как существование двух совершенно несовместимых объяснительных структур для данного явления... т. е. сильная двойственность «или-или») порождает математические идеи (организующие принципы, которые включают двусмысленность). Если я позволю себе позволить это… математика заключается в творческом поиске интерпретационных схем, которые включают, казалось бы, несовместимые мировоззрения.

Это имеет интересные последствия для природы проблематики в математике. Атия однажды сказал, что если мы задаем вопрос, мы уже на пути к ответу на него. Кроме того, Витгенштейн, я думаю, утверждал, что мы можем ответить на любой вопрос, который можем задать. (Я здесь перефразирую, я уверен, плохо.) Двойственность вопроса-ответа, возможно, должна быть преодолена творческим подходом к математике. Я думаю, что проблематика, заключающаяся в том, чтобы развлекать P и не P одновременно, чтобы открыть свое бытие (см. «Истина и метод Гадамера»), применима и к математическим проблемам. Рассмотрение предмета таким образом выходит за рамки глупых фундаментальных вопросов, связанных, скажем, с окончательностью 1+1=2. Математика больше связана с открытием новых способов острого осмысления мира... и этот процесс никогда не иссякает.

Вы упомянули, что уже рассматривали интуиционизм, но это мой любимый подход к интуиционизму.

Математика – старейшая отрасль психологии. Он выявляет и классифицирует интуиции — вещи, с которыми людям трудно не согласиться, когда они сталкиваются с ними. И он делает это эмпирически, заглядывая в умы людей в поисках вещей, которые они автоматически предполагают, учитывая ранее выявленные интуитивные предположения, и проверяя новое против установленного.

Конечно, все базовые интуиции непоследовательны, поэтому математика стремится к максимально последовательному набору простейших выразимых принципов, как и любая другая эмпирическая наука. Нам нравится, чтобы наш перечень научных фактов был лаконичным, элегантным, компактным и поддающимся сокращению.

Спорный характер отказа от таких вещей, как завершенные бесконечности и двойное отрицание, проистекает из этого предположения, что вещи будут непоследовательными и что математика, которую мы имеем, может быть уже непоследовательной. Возможно, нам придется отступить от вещей, которые мы знаем в настоящее время, точно так же, как мы отступили от бесконечно малых величин или пифагорейского предположения об универсальной соизмеримости. Поэтому мы не должны предполагать обратное, полагаясь на факты, которые мы еще не исследовали.

Брауэр и Клини не ставят вещи таким образом, но у них есть абсолютный психологизм, начиная с Брауэровского вывода первоначальных интуиций из изучения времени и его настойчивого утверждения, что формализации Гейтинга были бессмысленными и упускали из виду основные аспекты математических открытий.

Вы можете переосмыслить математический опыт как свободную творческую деятельность, сосредоточение на конструктивизме, поиск альтернативных интуиций бесконечности и т. д. последовательно в этих терминах поиска ума и сопоставления того, что мы находим между людьми.

Так что да, это появляется из воздуха. Он полон необоснованных предположений именно потому, что взаимодействие между предположениями, естественным образом возникающими у людей, составляет его предмет.

Это оправдывает формализм новым и интересным способом, признавая при этом, что его конечная заявленная цель бессмысленна. Наборы аксиом — это безосновательные предположения — все, что вы можете разумно сделать с ними, — это определить, как идеи сочетаются друг с другом. Но мы не хотим изучать все возможные наборы аксиом, это было бы пустой тратой времени. Мы хотим определить те, которые мы можем хорошо усвоить, и продуктивно их комбинировать.

Вы спросили, что является «основой» математики или (иными словами) на чем «основана» математика. Универсальные истины? Социальное строительство?

Могу я предложить вам прочитать книгу Лакоффа и Нуньеса « Откуда берется математика» и книгу Рубена Хирша « Что такое математика на самом деле? ». .

Приведенные выше источники предлагают третий способ интерпретации слова «основанный на», полученный из когнитивной науки: давайте изучать математику так же, как мы изучаем любую другую область поведения, как мы могли бы изучать брак, музыку или любую другую интересную человеческую деятельность. Когда мы спрашиваем, на чем «основана» человеческая деятельность, уместными вопросами могут быть следующие: Почему мы начали заниматься математикой? Для чего мы используем математику? Как люди решают математические задачи? Как мы визуализируем или «думаем» о математике? Как это связано с другими видами человеческой деятельности? Как развивались идеи на протяжении истории?

С этой точки зрения математика представляет собой обширную структуру, построенную на основе человеческой деятельности — из проблем, которые нам нужно было решить, из ситуаций, в которых мы оказались. Она содержит такие вещи, как «пространство», потому что люди живут в пространстве. Нам нравится думать обо всем как об «объектах» в «классах», потому что мы живем в мире, где растения и животные делятся на «виды», а камни — на «типы» и так далее. Он использует «высказывания» в виде линейных последовательностей, потому что люди общаются в виде линейных последовательностей высказываний. Математические объекты и задачи глубоко связаны с миром, с нашим мозгом и нашим телом. Они отражают многие особенности, происходящие из пространства, времени, последовательности, движения, классификации, коммуникации и так далее: то, что человеческий мозг и тело делают автоматически.

На этом «основана» математика. Вот с этого "начинается". Мир дал нам наш первый набор математических задач и объектов, а наш мозг и тело дали нам наш первый набор математических операций и алгоритмов. Это не слабые «социальные конструкции» и не сверхмощные «всеобщие истины». Это реальный мир, в котором мы все живем, и любой здравомыслящий человек не может отрицать их.

В этом мире, реальном мире, «аксиомы» не на первом месте, а на последнем — разработанные много лет спустя, улучшенные с течением времени, что-то вроде компьютерной программы, которая веками постепенно оптимизировалась людьми.

Мне нравится, когда WVO Куайн сказал: «Мы должны начать с середины». Мы не можем начать наше исследование со дна вселенной и продолжить, или с начала вселенной, или с Божьих намерений, или с первого всеобщего закона всей природы. Мы должны начать наше исследование здесь и сейчас, посередине, с обычных вещей размером с человеческое тело, делая обычные вещи обычными способами, когда интуиция, встроенная в наш мозг, кажется, работает идеально. Оттуда, используя метафору или расширение, мы сможем думать о более крупных вещах, более старых вещах, более общих вещах, абстрактных вещах... обо всех «необычных» вещах. Необыкновенное можно исследовать, только думая о нем с точки зрения обычного.

Я думаю, что использование термина «вера» скрывает тот факт, что у нас может быть интуиция мира. Даже если синтетические априорные суждения Канта ставятся под сомнение современной формальной логикой, его идея остается очень интересной. Таким образом, вместо убеждения, если мы используем термин интуиция, мы можем считать, что мы не формулируем гипотезу о мире наугад, а имеем априорное знание о нем. Принимая эту точку зрения, более общую, чем синтетическое априорное суждение, предположения, которые мы используем для построения математики, руководствуются интуицией мира, который у нас есть, они являются инструментом, который мы используем, чтобы заставить Природу отвечать на наши вопросы, как это использовал Кант. сказать. Мы могли бы видеть в диссипативных системах, теореме Геделя о неполноте или общей теории относительности свидетельство нашей мировой интуиции и неотъемлемый предел формальной логики или детерминизма: ни наш разум, ни мир, о котором мы имеем интуицию, не ограничены теориями, мы не являемся сложными машинами с произвольным доступом к памяти, которые в конечном итоге сводятся к детерминизму и формальной логике. В противном случае есть более здравая и очень хорошо структурированная статья в Стэндфордской энциклопедии философии посинтетическое и аналитическое суждение

Обычно мы думаем, что математика основана на «аксиомах». Вы что-то доказываете, начав с аксиом (или с теорем, которые уже доказали другие люди) и используя правильную логику, чтобы вывести все, что сможете.

Люди обычно говорят, что аксиомы — это самоочевидные утверждения или даже просто предположения, но я думаю, что гораздо логичнее думать о них как об определениях. Давайте определим 4 как 3 + 1, 3 как 2 + 1 и 2 как 1 + 1. Давайте также определим (x + y) + z как x + (y + z). Теперь возможно, что наши определения противоречат друг другу — может быть, мы определили одно и то же дважды несовместимыми способами. Но об этом чуть позже. Посмотрите, что мы можем вывести из этих определений:

4 = 3 + 1       (by definition of 4)
  = (2 + 1) + 1 (by definition of 3)
  = 2 + (1 + 1) (by definition of +)
  = 2 + 2       (by definition of 2)

Бум. Мы доказали, что 2 + 2 = 4, используя только определения. Теперь есть только один вопрос: что, если наши определения противоречат друг другу?

Ну, по всей видимости, они не противоречат друг другу. В математике «стандартный» набор основных аксиом, ZFC, существует уже некоторое время, и никто никогда не находил в нем противоречий. Скорее всего, никто не будет.

Таким образом, в математике могут быть парадоксы, но только в смысле вещей, которые верны, но противоречат интуиции. Нам не удалось доказать каких-либо фактических противоречий . А в математике все можно определить без цикличности. Вы можете определять вещи по кругу (а-ля «Что черепаха сказала Ахиллесу»), но вам не обязательно это делать.

Любая система логики основана на недоказуемых аксиомах — такова природа аксиом. Однако это не делает все возможные отправные точки равными.

У Вселенной есть история. Можно сказать, что это априори, из которых можно сделать действительное основание как для математики, так и для духовности.

Что я могу сказать вам из своих личных исследований, так это то, что математика интересна тем, что ее основные аксиомы вытекают из всей истории сознания по отношению к вселенной. Теперь я не могу доказать вам это на этом форуме, кроме как сказать вам, что из-за этого физика и математика имеют тенденцию соблюдаться. Но считайте аксиомы не верованиями и не предположениями, а соглашениями между БОГОМ и нами (возможно, поэтому символ «равных» — две параллельные линии равной длины).

Предположение как слепая вера? Нет. Но «предположение», что нам нужно рациональное понимание помимо формальных доказательств, да.

Обычно для математики необходимо «предположение», что системы аксиом лишены внутреннего противоречия (= из аксиом можно вывести как теорему, так и ее отрицание). Это был бы простой ответ.

Сложнее вопрос о прикладной математике, потому что очевидно, что во многих случаях математика применяется непосредственно , а не только как инструмент такой чисто эмпирической науки, как физика.

Если мы соединим 1 л синего химиката и 1 л красного химиката и создадим фиолетовую смесь, математика, конечно, не сможет сказать нам, что мы получим 2 л фиолетовой смеси. Но любопытно то, что если мы получаем, скажем, 1,8 л фиолетовой смеси, то мы не отмахиваемся от нее типа «Ну, математика все равно не имеет ничего общего с реальностью!», нет, мы ищем объяснение, такое как химическая реакция или физические причины, для этого «ненормального поведения». Обычные математические операции от +, -, /, * до дифференцирования и интегрирования, кажется, отражают абстрактное «идеальное поведение» реального мира, и это то, что не может быть подтверждено эмпирически. Но для того, чтобы назвать это слепой верой, у него должна развиться сильная аллергия на все, что хоть немного похоже на рационализм.