Основные ограничения для гамильтоновых систем с ограничениями

I) Подавим позиционную зависимость$q^i$и явная зависимость от времени$t$далее, а также предположим, что лагранжиан$L=L(v)$является гладкой функцией скоростей$v^i$, где$i=1, \ldots, n$. Матрица Гессе определяется как

$$H_{ij}~:=~\frac{\partial^2 L}{\partial v^i \partial v^j}.\tag{1}$$

Рассмотрим открытую окрестность$^1$ $V$вокруг фиксированной точки$v_{(0)}$. Теперь очень важным предположением является так называемое условие регулярности, ср. исх. 1 и 2. Это означает, что ранг гессиана$H_{ij}$не должно зависеть от точки$v$. Другими словами, Гессен$H_{ij}$должен иметь постоянный ранг$r$. (Ссылка 3 неявно предполагает этот критический момент, не подчеркивая его важности.)

Теперь мы переставляем/переименовываем скорости$(v^1,\ldots, v^n)$так что$r\times r$незначительный$A_{ab}$обратим в верхнем левом углу гессиана

$$H~=~ \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} ~=~ \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ CA^{-1} & 1 \end{bmatrix}}_{\text{invertible}} \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & D-CA^{-1}B \end{bmatrix} \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & A^{-1}B \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}_{\text{invertible}}. \tag{2}$$

Предполагается, что переименование производится одинаково во всей окрестности.$V$. Это возможно, если вы отправитесь в меньший открытый район (который мы также называем$V$) если необходимо. (Позже, когда мы применим теорему об обратной функции ниже, нам, возможно, придется неявно ограничить$V$далее.) Из условия постоянного ранга следует, что

$$D~=~CA^{-1}B. \tag{3}$$

II) Затем мы выполняем сингулярное преобразование Лежандра $v\leadsto p$. Определить функции

$$g_i(v)~:=~\frac{\partial L(v)}{\partial v^i}, \qquad i=1, \ldots, n. \tag{4}$$

Импульсы определяются в лагранжевой теории как

$$p_i~:=~g_i(v), \qquad i=1, \ldots, n. \tag{5}$$

скорости

$$v^i~\longrightarrow~ (u^a,w^{\alpha}) \tag{6}$$

разделить на два набора координат скорости

$$u^a, \quad a=1, \ldots, r, \qquad\text{and}\qquad w^{\alpha}, \quad \alpha=1, \ldots, n-r, \tag{7}$$

которые мы будем называть первично-выразимыми (невыразимыми) скоростями соответственно. Точно так же импульсы

$$p_i~\longrightarrow~ (\pi_a,\rho_{\alpha}) \tag{8}$$

разделить на два набора координат импульса

$$\pi_a, \quad a=1, \ldots, r, \qquad\text{and}\qquad \rho_{\alpha}, \quad \alpha=1, \ldots, n-r. \tag{9}$$

Первичные выражаемые скорости

$$u^a~=f^a(\pi,w), \qquad a=1, \ldots, r. \tag{10}$$

извлекаются из$r$первых импульсных соотношений (5) с помощью теоремы об обратной функции с$w$-переменные как пассивные параметры зрителя.

III) Затем определите составные функции

$$h_i(\pi,w) ~:=~ g_i(f(\pi,w),w), \qquad i=1, \ldots, n. \tag{11}$$

Сразу следует, что

$$h_a(\pi,w) ~=~ \pi_a, \qquad a=1, \ldots, r. \tag{12}$$

потому что функции$g$и$f$обратны друг другу для фиксированных$w$. Дифференциация (12) по отн.$w^{\alpha}$приводит к

$$\begin{align} 0~=~&\frac{\partial h_a(\pi,w)}{\partial w^{\alpha}} \cr ~\stackrel{(11)}{=}~&\left.\frac{\partial g_a(u,w)}{\partial w^{\alpha}}\right|_{u=f(\pi,w)} +\left. \frac{\partial g_a(u,w)}{\partial u^b} \right|_{u=f(\pi,w)} \frac{\partial f^b(\pi,w)}{\partial w^{\alpha}} \cr ~\stackrel{(1)+(2)+(4)}{=}&\left.B_{a\alpha}\right|_{u=f(\pi,w)} +\left. A_{ab} \right|_{u=f(\pi,w)} \frac{\partial f^b(\pi,w)}{\partial w^{\alpha}} . \end{align}\tag{13}$$

Теорема 1.$h_i$-функции (11) не зависят от$w$-переменные.

Доказательство теоремы 1:

$$\begin{align} \frac{\partial h_{\alpha}(\pi,w)}{\partial w^{\beta}} ~\stackrel{(11)}{=}~&\left.\frac{\partial g_{\alpha}(u,w)}{\partial w^{\beta}}\right|_{u=f(\pi,w)} +\left. \frac{\partial g_{\alpha}(u,w)}{\partial u^a} \right|_{u=f(\pi,w)} \frac{\partial f^a(\pi,w)}{\partial w^{\beta}} \cr ~\stackrel{(1)+(2)+(4)}{=}&\left.D_{\alpha\beta}\right|_{u=f(\pi,w)}+\left. C_{\alpha a} \right|_{u=f(\pi,w)} \frac{\partial f^a(\pi,w)}{\partial w^{\beta}} \cr ~\stackrel{(13)}{=}~&\left. \left(D_{\alpha\beta}-C_{\alpha a}(A^{-1})^{ab}B_{b\beta} \right)\right|_{u=f(\pi,w)}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&0.\end{align}\tag{14}$$

Конец доказательства. $n-r$соотношение последнего импульса (5) теперь принимает вид$n-r$функционально независимые первичные ограничения

$$\phi_{\alpha}(\pi,\rho)~:=~\rho_{\alpha}- h_{\alpha}(\pi)~\approx~0,\tag{15}$$

где$\approx$символ означает равенство ограничений по модулю. Очевидно, что первичные ограничения (15) функционально независимы, поскольку каждое из них зависит от различных$\rho$импульсы.

IV) Энергетическая функция Лагранжа определяется как

$$h(v)~\stackrel{(4)}{:=}~g_i(v) v^i -L(v).\tag{16}$$

Задайте гамильтониан как составную функцию

$$\begin{align} H(\pi,w)~:=~&h(f(\pi,w),w)~\cr \stackrel{(10)+(11)+(16)}{=}&h_a(\pi) f^a(\pi,w) +h_{\alpha}(\pi) w^{\alpha} - L(f(\pi,w),w).\end{align}\tag{17}$$

Теорема 2. Гамильтониан (17) не зависит от$w$-переменные.

Доказательство теоремы 2:

$$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial w^{\alpha}} ~\stackrel{(17)}{=}~&\left(h_a(\pi) -\left. \frac{\partial L(u,w)}{\partial u^a} \right|_{u=f(\pi,w)} \right) \frac{\partial f^a(\pi,w)}{\partial w^{\alpha}} + h_{\alpha}(\pi) -\left. \frac{\partial L(u,w)}{\partial w^{\alpha}} \right|_{u=f(\pi,w)} \cr ~\stackrel{(4)+(11)}{=}~0.\end{align} \tag{18}$$

Конец доказательства.

V) Пример с$n=2$и$r=1$. Пусть лагранжиан

$$L ~=~\frac{1}{2}\frac{u^2}{1-w}~=~\frac{u^2}{2}\sum_{n=0}^{\infty}w^n, \qquad |w|~<~1. \tag{19}$$

Гессен

$$H_{ij}~=~\begin{bmatrix} \frac{1}{1-w} & \frac{u}{(1-w)^2} \\ \frac{u}{(1-w)^2} & \frac{u^2}{(1-w)^3}\end{bmatrix} \tag{20}$$

имеет два собственных значения$\frac{1}{1-w}+ \frac{u^2}{(1-w)^3}>0$и$0$, т.е. имеет постоянный ранг$r=1$когда$|w|< 1$.

Первое импульсное соотношение

$$\pi~=~\frac{\partial L}{\partial u}~=~ \frac{u}{1-w} \tag{21}$$

можно инвертировать, чтобы получить

$$u~=~ (1-w)\pi. \tag{22}$$

Второе импульсное соотношение

$$\rho~=~\frac{\partial L}{\partial w}~=~ \frac{u^2}{2(1-w)^2} ~=~\frac{1}{2}\pi^2\tag{23}$$

приводит к основному ограничению

$$\phi~:=~ \rho -\frac{1}{2}\pi^2~\approx~0. \tag{24}$$

Гамильтониан (17) принимает вид

$$H~=~ \pi u + \rho w -L~=~\frac{1}{2}\pi^2. \tag{25}$$

Легко проверить, что вторичного ограничения нет. Конец примера.

Использованная литература:

1. М. Хенно и К. Тейтельбойм, Квантование калибровочных систем, (1994), с. 5-7.

2. Д. М. Гитман, И. В. Тютин, Квантование полей с ограничениями, (1990), с. 13-16.

3. Х. Рот и К. Рот, Классическая и квантовая динамика гамильтоновых систем со связями, (2010), с. 24-27.

--

$^1$Мы будем приводить только локальные аргументы, т.е. игнорировать глобальные проблемы.

ОП написал

На этом презентация Роте заканчивается, и меня беспокоит то, что уравнения вида $p_\alpha = h_\alpha (q, \{p_a\},\{\dot{q}_\beta\})$(2) со всеми $\{\dot{q}_\beta\}$настоящее все еще возможно, и все же нельзя найти больше скоростей из набора $\{\dot{q}_\alpha\}$через координаты, импульсы и остаточные скорости, если не выполняются условия, оговоренные в теореме о неявной функции, ибо не все уравнения типа (2) могут быть решены в неявном виде для $\{\dot{q}_\alpha\}$. Поэтому не доказано, что существуют $(n - R_W)$первичные ограничения формы $\phi_\alpha (q,p) = 0$

Я почувствовал непонимание заявлений Роте, не обращайте на меня внимания, если я неправильно понимаю ОП:

Роте оспаривает по крайней мере один из$\dot{q}_\beta$может быть выражена как функция$p_a,p_\alpha$и остальные$\dot{q}_\alpha$с. Для любого конкретного$\alpha$в вашем уравнении (2) по теореме о неявной функции, применяемой к одной переменной ($\dot{q}_\beta$), это всегда выполнимо, если только$\frac{\partial h_\alpha}{\partial \dot{q}_\beta}=0$для нашего избранного$\alpha$и$\beta$, но последний случай просто означает$h_\alpha$не зависит от$\dot{q}_\beta$, так что в любом случае утверждение Роте верно.

Обновления:

Что касается функциональной независимости, то, если не ошибаюсь, она достаточно тривиальна. Это потому, что в вашем уравнении (2) все$p_\alpha$находятся на LHS, а RHS не содержит$p_\alpha$таким образом, невозможно найти взаимосвязь между этими уравнениями (во множественном числе в том смысле, что$\alpha$может принимать множество значений, от$1$к$M'$). Или на языке дифференциального исчисления функции ограничений из (2) будут$\phi_\alpha(q,p)=p_\alpha-h_\alpha(q,\{p_a\})$, поэтому якобиан этих функций будет просто

$\frac{\partial \phi_\beta}{\partial \{p_\alpha,p_a, q\}}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots &0&\cdots&\frac{\partial h_1}{\partial p_a}&\cdots&\frac{\partial h_1}{\partial q_i}&\cdots\\ 0 & 1 & \cdots&0&\cdots&\frac{\partial h_2}{\partial p_a}&\cdots&\frac{\partial h_2}{\partial q_i}&\cdots\\ \vdots & \vdots & \ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0 &0 &\cdots&1&\cdots&\frac{\partial h_{M'}}{\partial p_a}&\cdots&\frac{\partial h_{M'}}{\partial q_i}&\cdots\end{bmatrix}$

И этот якобиан имеет максимальный ранг из-за единичной подматрицы слева, и это то же самое, что сказать, что эти функции ограничений функционально независимы.

PS: теперь я не совсем уверен, какую ситуацию имели в виду H&T, когда говорили$M<M'$.