Особые обозначения фермионов

Я не уверен, что это обозначение специфично для теорий суперсимметрии, но я столкнулся с этим, изучая это.

Я вижу, как люди говорят о полях компонентов кирального суперполя как о$\phi$и$\bar{\psi}$в присоединенном представлении некоторой калибровочной группы. (Иногда кажется, что также используется обозначение$\bar{\psi}_+$чтобы обозначить, какая компонента спинора подхватывается) Ковариантный оператор производной также обозначается как$D$(что иногда пишется как$D_{++}$для обозначения того, какой его компонент выбирается ... но я не понимаю эту запись)

Теперь говорят об «операторах одиночной трассировки» типа$Tr[\phi \bar{\psi}]$,$Tr[\phi \bar{\psi}^2]$,$Tr[\phi^3D \bar{\psi}^4]$и тому подобное ... в основном берут произвольные комбинации мощностей скаляра и фермиона, а затем берут «калибровочный след».

Есть много вещей, которые я не понимаю.

• Меня озадачивает обозначение степени фермионного поля. Как определить силы спинора? (Что такое квадрат фермиона?) Также здесь в компонентах$\psi$будет иметь такое разложение, как$\psi = \psi_A t_A$где$\psi_A$являются фермионами и$t_A$пробегает образующие алгебры Ли калибровочной группы в присоединенном представлении. Я предполагаю, что кто-то берет тензорное произведение между спинором$\psi_A$и матрица$t_A$. Но тогда я не понимаю, что такое квадрат или любая другая степень этого тензора?

• мне сказали, что$\bar{\psi}^2 \neq 0$но$Tr[\bar{\psi}^2] = 0$Я не понимаю, что это должно означать.

• Один из способов, которым я могу думать о силах, может заключаться в том, что$\bar{\psi}$являются операторами послеквантования в гильбертовом пространстве теории, и это степени этого оператора гильбертова пространства. Но при таком способе мышления я запутался, как интерпретировать трассировку по индексам калибровки.

• На этом языке хочется думать об операторах суперсимметрии$Q$воздействовать на поля следующим образом,

$Q\phi=0$

$Q\bar{\psi} = 0$

$Q(DO) = [[\phi,\bar{\psi}],O\} + D(QO)$

где$O$— некоторый оператор, а в первом слагаемом в правой части последнего из приведенных выше уравнений символ$[,\}$означает, что можно взять коммутатор или антикоммутатор в зависимости от того,$O$является бозонным или фермионным.

Вышеупомянутое выглядит как совершенно другой способ мышления о преобразованиях суперсимметрии, чем язык, с которым я знаком из таких книг, как книга Вайнберга, где действие$Q$на$\phi$и$\psi$через коммутатор и антикоммутатор соответственно, или можно думать о бесконечно малых преобразованиях суперсимметрии как$\delta \phi$и т. д.

• Определенно последний из вышеперечисленного списка коммутаторов мне совершенно незнаком!

• Приведенное выше понятие сбивает с толку то, как я должен думать о действии$Q$на составных операторах, таких как say$Tr[\phi\bar{\psi}^3]$. По-видимому, предполагается, что это фермионный оператор, поскольку фермион возводится в нечетную степень. (Я не вижу здесь полного аргумента!)

Тогда действие$Q$должно быть (отбрасывание общей трассировки),

$Q(\phi \bar{\psi}^3) = (Q\phi)\bar{\psi}^3 + \phi (Q \bar{\psi})\bar{\psi}^2 - \phi \bar{\psi}(Q \bar{\psi})\bar{\psi} + \phi \bar{\psi}^2(Q \bar{\psi})$

Знаки чередуются в зависимости от того, сколько$\bar{\psi}$с имеет$Q$пропущено.

• Я хотел бы знать объяснения описанному выше способу записи мощностей фермионных полей и выполнению над ними преобразований суперсимметрии. Я был бы рад, если бы меня направили к какой-нибудь ссылке, объясняющей вышеприведенный способ мышления, которого я не встречал больше нигде ни в одной книге.

• {В конце концов тот, кто заинтересован в вычислении "когомологий$Q$" на пространстве всех таких операторов одиночного следа (по какой-то непонятной мне причине люди хотят исключить из этого списка операторов, которые являются полными ковариантными производными). Это зависит от теории, которую рассматривают, по тому, что вспомогательное поле интегрирует в и появляется на RHS. Я также хотел бы знать ссылки на это и почему это «когомологии» и почему это вычисляется.}