Откуда берутся отрицательные степени fπfπf_\pi в адронных амплитудах?

Как вообще вычислять взаимодействия пионов? Поскольку пионы являются (псевдо)голдстоуновскими бозонами, процедура следующая: начиная с лагранжиана, содержащего кварковые поля$q(x)$(и предположим, что вы проинтегрировали глюонные сектора), вам нужно извлечь из них пионные степени свободы, а именно

$$q(x) \equiv U\tilde{q}(x),$$ где $$U = e^{i\gamma_{5}\frac{\pi_{a}t_{a}}{f_{\pi}}}$$ Там просто нужно подставить ненулевой ВЭВ $\langle |\bar{\tilde{q}}\tilde{q} |\rangle$.

Из описанной картины следует, что основным объектом пионной теории эффективного поля является$U$, что зависит от аргумента$\frac{\pi}{f_{\pi}}$.

В общем случае соответствующий эффективный лагранжиан для свободных пионов, необходимый для ответа на ваш вопрос, имеет вид

$$\tag 1 S = \int d^{4}x\left(\frac{f_{\pi}^{2}}{4}\text{Tr}\left[ \partial_{\mu}U\partial^{\mu}U^{+}\right] - f_{\pi}^{2}m_{\pi}^{2}\text{Tr}\left[ U^{\dagger} + U - 2\right] + ...\right) + N_{c}\Gamma_{WZ},$$ Здесь $$\Gamma_{WZ} \equiv \frac{i}{240 \pi^{2}}\int d^{5}x\epsilon^{ijklm}\text{Tr}\left[U\partial_{i}U^{-1}U\partial_{j}U^{-1}U\partial_{k}U^{-1}U\partial_{l}U^{-1}U\partial_{m}U^{-1}\right]$$ является термином Весса-Зумино, который охватывает всю информацию об аномалиях лежащей в основе теории, а точки представляют термины с более высокой производной и смешанные термины.

Обратите внимание на наличие$f_{\pi}^{2}$на первом сроке в$(1)$(это необходимо для канонического вида кинетического члена пионов) и отсутствие такой величины в члене Весса-Зумино (поскольку по сути это просто число).

Краткий формальный ответ на ваш вопрос следующий. Для описания упомянутых процессов -$\pi^{+} \to l^{+} \nu_{l}, \pi^{0} \to ll^{+}, \pi^{0} \to 2\gamma$- нам нужно удлинить производные в$(1)$. Оказывается, первые два процесса опосредованы кинетическим членом в киральном действии эффективной теории поля$(1)$, который имеет$f_{\pi}^{2}$фактор на фронте, а общий вклад в процесс$\pi \to \gamma\gamma$образован термом Весса-Зумино, перед которым не стоят никакие размерные факторы. Амплитуды первых двух процессов пропорциональны$f_{\pi}$, а для последнего она пропорциональна$f_{\pi}^{-1}$.

Мое утверждение, что после измерения и добавления лептонной части такое действие содержит информацию о процессах$\pi \to \mu \bar{\nu}_{\mu}$и$\pi \to \gamma \gamma$.

При измерении первых членов$(1)$, мы просто модифицируем частные производные$\partial_{\mu}$к

$$\partial_{\mu}U \to \partial_{\mu} - iR_{\mu}U + iUL_{\mu},$$ где $$L \equiv g_{2}\frac{W_{a}\tau_{a}}{2} + g_{1}W^{0}\begin{pmatrix} \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & \frac{1}{6}\end{pmatrix}, \quad R \equiv g_{1}W^{0}\begin{pmatrix}\frac{2}{3} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$$ (в общем, $g_{i}$– матрицы констант (элементы матрицы CKM)).

Затем мы можем извлечь$\pi^{\pm}W^{\mp}$вершина из кинетического члена$(1)$(здесь$W^{\pm} \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(W_{1} \mp iW_{2})$). Поскольку, как я писал выше, пионные поля как фаза голдстоуна всегда находятся в сочетании$\frac{\pi}{f_{\pi}}$и с учетом того, что существуют$f_{\pi}^{2}$перед ним у нас есть это$\pi W$срок пропорционален$f_{\pi}$.

Далее, калибровка термина Весса-Зумино сложнее (см. ответ здесь ). Но сейчас важно только одно - степень$f_{\pi}$, так что мы сразу можем дать результат: часть калиброванного члена WZ, которая содержит одно пионное поле, обратно пропорциональна$f_{\pi}$.

Второе уравнение, которое вы написали, получено из аномалии, соответствующей смешанной аномалии с электромагнетизмом. В УФ аномалия возникает из треугольной петли, внутри которой бегут кварки. Однако в ИК-диапазоне все кварки ограничены, и вы получаете только пионы намного ниже.$\Lambda_{QCD}$. Еще нужно уметь воспроизвести смешанную аномалию с пионами. Поскольку при киральном преобразовании с параметром$\alpha$на фотонном фоне действие меняется на

$$\propto \alpha \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}\,,$$ действие, которое в ИК это дало бы это $$\propto \frac{\pi^0}{f_\pi} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}$$ Действительно, $\pi^0$является голдстоуновским бозоном спонтанно нарушенной киральной симметрии, который действует нелинейно на $\pi^0$ $$\pi\rightarrow \pi^0+ f_\pi \alpha.$$ Это последнее преобразование следует из исходного уравнения, которое подразумевает $$J_\mu^5 \propto f_\pi \partial_\mu\pi^0+\ldots$$ как вы можете проверить из канонически нормализованного кинетического члена для $\pi^0$используя стандартный прием для расчета тока Нётер (то есть путем продвижения параметра $\alpha$кирального преобразования в функцию, зависящую от пространства-времени).

Как видите, именно преобразование бозона Голдстоуна и сопоставление аномалий исправляют$1/f_\pi$поведение в лагранжиане и, следовательно, в амплитуде для$\pi^0\rightarrow \gamma\gamma$.