Может ли эффективная вершина для γ→3πγ→3π\gamma\to3\pi быть получена непосредственно из аномалии?

Мотивация термина Весса-Зумино

Есть много подобных терминов с мезонами, которые отражают аномальную киральную структуру лежащей в основе КХД. Как захватить их всех? Ответ дает теорема, которая утверждает следующее: в общем случае неабелева аномалия в 4-х измерениях связана с характером Черна-Саймонса в 5-ти измерениях, который называется термом Весса-Зумино. Такая теорема также является элегантным способом получения терма Весса-Зумино.

Поэтому вместо того, чтобы искать все термины, такие как$\pi^{0}F_{EM}\tilde{F}_{EM}$путем непосредственного применения уравнений аномалий предпочтительнее измерять член Весса-Зумино, так как это просто. Многие аномальные члены возникают не из треугольной диаграммы, а, например, из аномальной пятиугольной диаграммы, что приводит к большому усложнению вычислений, основанных на модификации наивных тождеств Уорда для данного класса диаграмм.

Как оценить член Весса-Зумино? Есть старый простой способ, который называется методом проб и ошибок. А именно, начнем со свободного термина Весса-Зумино:

$$N_{c}\Gamma_{WZ} = i\frac{N_{c}}{240 \pi^{2}}\int d^{5}x\epsilon^{ijklm}\text{Tr}\left[L_{i}L_{j}L_{k}L_{l}L_{m}\right],$$ где $L_{i} \equiv U\partial_{i}U^{-1}$и $U$— матрица голдстоуновских бозонов.

С$U$здесь действует в 5-мерном многообразии, нет прямого способа измерить член Весса-Зумино простым удлинением производной. Однако мы знаем явный вид$U_{EM}(1)$калибровочная вариация$U$поле, а именно

$$U(x) \to e^{iQ\epsilon(x)}Ue^{-iQ\epsilon (x)} \Rightarrow \delta U = i\epsilon (x)[Q, U]$$ Затем $$\delta L_{i} = i\epsilon (x)[Q, L_{i}] + i(\partial_{i}\epsilon (x))UQU^{-1} - i\partial_{i}\epsilon (x)Q,$$ и $$N_{c}\Delta \Gamma_{WZ} = -\frac{iN_{c}}{48 \pi^{2}}\int d^{5}x\partial_{i}\left[ \partial_{i}\epsilon(x)\epsilon^{ijklm}\text{Tr}\left[ Q(T_{k}T_{l}T_{m} + L_{k}L_{l}L_{m})\right]\right] =$$ $$=-\frac{i}{48 \pi^2}\int d^{4}x\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\partial_{\mu}\epsilon (x) \text{Tr}\left[ QT_{\nu}T_{\alpha}T_{\beta} + L_{\nu}L_{\alpha}L_{\beta}\right] \equiv -\int d^{4}x\partial_{\mu}\epsilon(x)J^{\mu},$$ где $T_{i} \equiv (\partial_{i}U^{-1})U$и $$J^{\mu} \equiv \frac{iN_{c}}{48 \pi^{2}}\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\text{Tr}\left[ Q(T_{\nu}T_{\alpha}T_{\beta} + L_{\nu}L_{\alpha}L_{\beta})\right]$$ Для первого шага мы можем изменить член Весса-Зумино, добавив $$-\int d^{4}xA_{\mu}J^{\mu},$$ где $A_{\mu}$является EM 4-потенциалом.

С$\delta J_{\mu}$отлична от нуля, нужно добавить еще часть, вариация которой совпадает с членом$\delta J_{\mu}$. Таким образом, мы получаем, что калибровочный член Весса-Зумино равен

$$\tag 1 \tilde{\Gamma}_{WZ} = N_{c}\Gamma_{WZ} - \int d^{4}xA_{\mu}J^{\mu} +$$ $$+\frac{iN_{c}}{24 \pi^{2}}\int d^{4}x\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}(\partial_{\mu}A_{\nu})A_{\alpha}\text{Tr}\left[ Q^{2}(\partial_{\beta}U)U^{-1} + Q^2Q^{-1}\partial_{\beta}U + QUQU^{-1}(\partial_{\beta}U)U^{-1}\right]$$

Для КХД с$u, d$кварки,$Q = \text{diag}\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \right)$. Используя

$$U = e^{i\frac{\sqrt{2}\pi_{a}t_{a}}{f_{\pi}}}, \quad \pi_{a}t_{a} = \begin{pmatrix} \frac{\pi^{0}}{\sqrt{2}} & \pi^{-} \\ \pi^{+} & \frac{\pi^{0}}{\sqrt{2}}\end{pmatrix},$$ мы можем получить $\pi^{0} \to 2\gamma$вершина из последнего слагаемого $(1)$и $\gamma \to 3 \pi$вершина из второго. Конечно, увеличив число кварков до 3, мы получим более аномальные члены.